Problem C. 1536. (March 2019)

C. 1536. Find all real pairs \(\displaystyle (x,y)\) satisfying

\(\displaystyle xy =x+y+5,\)

\(\displaystyle x^2+y^2 =5.\)

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először alakítsuk át a második egyenletet:

\(\displaystyle (x+y)^2-2xy=5,\)

majd az első egyenletet felhasználva helyettesítsünk be \(\displaystyle xy=(x+y+5)\)-öt:

\(\displaystyle (x+y)^2-2(x+y+5)=5.\)

Ezután bontsuk fel a zárójelet, és rendezzünk 0-ra:

\(\displaystyle (x+y)^2-2(x+y)-15=0.\)

A másodfokú egyenlet megoldóképletetét alkalmazva kapjuk, hogy

\(\displaystyle x+y= \frac{2 \pm 8}{2},\)

azaz \(\displaystyle x+y=5\) vagy \(\displaystyle -3\).

1. eset: \(\displaystyle x+y=5\),
ekkor az első egyenletből \(\displaystyle xy=10\).

Ilyenkor

\(\displaystyle y=5-x,\)

amit a szorzatba behelyettesítve

\(\displaystyle x(5-x)=10.\)

Átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^2-5x+10=0,\)

amire alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét látható, hogy negatív a diszkrimináns, azaz ebben az esetben nincs megoldás.

2. eset: \(\displaystyle x+y=-3\),
ekkor az első egyenletből \(\displaystyle xy=2\).

Ilyenkor \(\displaystyle y=-3-x\), amit a szorzatba helyettesítve adódik, hogy

\(\displaystyle x(-3-x)=2.\)

Átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle x^2+3x+2=0,\)

azaz

\(\displaystyle (x+1)(x+2)=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz \(\displaystyle x=-1\) vagy \(\displaystyle x=-2\).

Visszahelyettesítve kapjuk, hogy

i) ha \(\displaystyle x=-1\), akkor \(\displaystyle y=-2\),

ii) ha \(\displaystyle x=-2\), akkor \(\displaystyle y=-1\).

Ezeket az eredeti egyenletekbe visszahelyettesítve látható, hogy vaban kielégítik a feltételeket.

Tehát az egyenletrendszernek két megoldása van: \(\displaystyle x=-1, y=-2\) és \(\displaystyle x=-2, y=-1\).

Statistics:

221 students sent a solution.
5 points:	144 students.
4 points:	16 students.
3 points:	7 students.
2 points:	11 students.
1 point:	5 students.
0 point:	20 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019