Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1537. feladat (2019. március)

C. 1537. A \(\displaystyle 6\) egység sugarú \(\displaystyle k_1\) kör és a \(\displaystyle 3\) egység sugarú \(\displaystyle k_2\) kör kívülről érintik egymást, valamint belülről érintik a 9 egység sugarú \(\displaystyle k\) kört. A \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) egyik közös külső érintője a \(\displaystyle k\) kört a \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) pontokban metszi. Határozzuk meg a \(\displaystyle PQ\) szakasz hosszát.

(Horvát feladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a \(\displaystyle k_1, k_2\) és \(\displaystyle k\) kör középpontja rendre \(\displaystyle O_1, O_2\) és \(\displaystyle O\), sugara pedig \(\displaystyle r_1, r_2\) és \(\displaystyle r\). A középpontokból állítsunk merőlegest a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös \(\displaystyle f\) külső érintőjére, a talppontok legyenek (az ábrán látható módon) rendre \(\displaystyle D, H, M\). Továbbá legyen \(\displaystyle K\) a közös érintő és a középpontokat tartalmazó \(\displaystyle h\) egyenes metszéspontja. (A körök helyzetéből adódik, hogy a három kör középpontja egy egyenesen van. Az \(\displaystyle O_1O_2\) egyenes és \(\displaystyle f\) metszik egymást, hiszen \(\displaystyle r_1\ne r_2\).)

Tudjuk, hogy \(\displaystyle r_1=6, r_2=3, O_1O_2=r_1+r_2=9\), valamint mivel \(\displaystyle r=9\), így \(\displaystyle OO_1=9-6=3\) és \(\displaystyle OO_2=9-3=6\). Alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle f\) által meghatározott szögre. Mivel \(\displaystyle O_1D \parallel O_2H\), így

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO_1}= \frac{O_2H}{O_1D},\)

amiből \(\displaystyle KO_1=KO_2+O_1O_2=KO_2+9\) alapján

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO_2+9}= \frac{3}{6},\)

vagyis

\(\displaystyle KO_2=9.\)

Most \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle O_2H\) párhuzamosságát kihasználva alkalmazzuk újra a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO}= \frac{O_2H}{OM},\)

\(\displaystyle \frac{9}{9+6}= \frac{3}{OM},\)

\(\displaystyle OM=5.\)

Végül alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle PMO\) háromszögre:

\(\displaystyle PM^2+OM^2=OP^2,\)

ebből

\(\displaystyle PM=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}.\)

Azaz a \(\displaystyle PQ\) szakasz hossza szimmetriai okokból (\(\displaystyle M\) a húr felezőpontja) \(\displaystyle 2\sqrt{56}\) egység.


Statisztika:

A C. 1537. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. márciusi matematika feladatai