Problem C. 1537. (March 2019)

C. 1537. A circle \(\displaystyle k_1\) of radius \(\displaystyle 6\) and a circle \(\displaystyle k_2\) of radius \(\displaystyle 3\) touch each other on the outside, and each of them touches a circle \(\displaystyle k\) of radius 9 on the inside. One common exterior tangent of \(\displaystyle k_1\) and \(\displaystyle k_2\) intersects circle \(\displaystyle k\) at points \(\displaystyle P\) and \(\displaystyle Q\). Determine the length of the line segment \(\displaystyle PQ\).

(Croatian problem)

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a \(\displaystyle k_1, k_2\) és \(\displaystyle k\) kör középpontja rendre \(\displaystyle O_1, O_2\) és \(\displaystyle O\), sugara pedig \(\displaystyle r_1, r_2\) és \(\displaystyle r\). A középpontokból állítsunk merőlegest a \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) körök közös \(\displaystyle f\) külső érintőjére, a talppontok legyenek (az ábrán látható módon) rendre \(\displaystyle D, H, M\). Továbbá legyen \(\displaystyle K\) a közös érintő és a középpontokat tartalmazó \(\displaystyle h\) egyenes metszéspontja. (A körök helyzetéből adódik, hogy a három kör középpontja egy egyenesen van. Az \(\displaystyle O_1O_2\) egyenes és \(\displaystyle f\) metszik egymást, hiszen \(\displaystyle r_1\ne r_2\).)

Tudjuk, hogy \(\displaystyle r_1=6, r_2=3, O_1O_2=r_1+r_2=9\), valamint mivel \(\displaystyle r=9\), így \(\displaystyle OO_1=9-6=3\) és \(\displaystyle OO_2=9-3=6\). Alkalmazzuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét a \(\displaystyle h\) és \(\displaystyle f\) által meghatározott szögre. Mivel \(\displaystyle O_1D \parallel O_2H\), így

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO_1}= \frac{O_2H}{O_1D},\)

amiből \(\displaystyle KO_1=KO_2+O_1O_2=KO_2+9\) alapján

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO_2+9}= \frac{3}{6},\)

vagyis

\(\displaystyle KO_2=9.\)

Most \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle O_2H\) párhuzamosságát kihasználva alkalmazzuk újra a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

\(\displaystyle \frac{KO_2}{KO}= \frac{O_2H}{OM},\)

\(\displaystyle \frac{9}{9+6}= \frac{3}{OM},\)

\(\displaystyle OM=5.\)

Végül alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt a \(\displaystyle PMO\) háromszögre:

\(\displaystyle PM^2+OM^2=OP^2,\)

ebből

\(\displaystyle PM=\sqrt{9^2-5^2}=\sqrt{56}.\)

Azaz a \(\displaystyle PQ\) szakasz hossza szimmetriai okokból (\(\displaystyle M\) a húr felezőpontja) \(\displaystyle 2\sqrt{56}\) egység.

Statistics:

42 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Debreczeni Tibor, Eölyűs Noel, Gál Bence, Hordós Adél Zita, Horváth 713 Alíz, Jankovits András, Kalabay László, Kardkovács Levente, Kis 194 Károly, Kubik Emese, Lezsák Domonkos, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nagy 202 Eszter , Német Franciska, Rozgonyi Gergely, Sal Dávid, Sebe Anna, Szabó 677 Balázs István, Székelyhidi Klára, Tóth Imre, Varga Ákos, Vlaszov Artúr, Wagner Dávid Barnabás.
4 points:	Facskó Vince, Falvay Júlia, Ludányi Levente, Nyitrai Boglárka, Varga-Balázs Kristóf.
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019