Problem C. 1538. (March 2019)

C. 1538. Six pairs of twin brothers participated in one of the practices of the Twins' Table Tennis Club. The coaches did not want any brothers to play at the same table.

\(\displaystyle a)\) In how many different ways may they divide the players to play round-the-table games at two different tables?

\(\displaystyle b)\) In how many different ways is it possible to divide the players into sets of four to play doubles at three different tables? (The position of the players at the tables does not matter.)

(Based on an English problem)

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Mindkét asztalnál 6 gyereknek kell lennie, hiszen semelyik ikerpár 2 tagja nem játszhat egy asztalnál. Így minden ikerpárnál el kell döntenünk, hogy az ikerpár melyik tagja megy az egyik, melyik a másik asztalhoz, ezt \(\displaystyle 2^6\)-féleképpen tehetjük meg.

Azaz \(\displaystyle 2^6=64\)-féleképpen lehet a gyerekeket beosztani a két asztalhoz.

b) Itt minden asztalhoz 4 gyerek fog kerülni, és nem lehetnek köztük ikrek. Nézzük először az 1. asztalt: Kiválasztjuk, hogy a 6 ikerpárból mely 4-nek fog egy-egy tagja itt játszani, majd a kiválasztott 4 ikerpárból is eldöntjük, hogy az adott ikerpár melyik tagja játszik ennél az asztalnál. Ez \(\displaystyle \binom{6}{4} \cdot 2^4\) lehetőséget ad. Ezután a maradék (az előbb ki nem választott) 2 ikerpár tagjait szétosztjuk a 2. és 3. asztalhoz (ikerpár két tagja külön asztalhoz kell, hogy kerüljön), ezt \(\displaystyle 2^2\)-féleképpen tehetjük meg. Végül a maradék 4 emberből (akik tehát az 1. asztalhoz kerülők ikertestvérei) kiválasztjuk, hogy melyik kettő kerül a 2. asztalhoz (a maradék kettő megy a 3.-hoz), ez \(\displaystyle \binom{4}{2}\)-féleképpen lehetséges.

Így

\(\displaystyle \binom{6}{4} \cdot 2^4 \cdot 2^2 \cdot \binom{4}{2},\)

azaz 5760-féleképpen lehet a gyerekeket a három asztalhoz szétosztani.

Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Debreczeni Tibor, Demcsák Ágnes, Facskó Vince, Gyuricza Gergő, Hordós Adél Zita, Jankovits András, Kis 194 Károly, Majerusz Ádám, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Német Franciska, Nyitrai Boglárka, Pipis Panna, Schäffer Bálint, Sebe Anna, Varga Ákos.
4 points:	Gál Bence, Jelinek Dorka, Kardkovács Levente, Kis-Tóth Janka, Kubik Emese, Rátki Luca, Rozgonyi Gergely, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Vándorffy Áron.
3 points:	4 students.
2 points:	3 students.
1 point:	7 students.
0 point:	11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2019