Problem C. 1539. (April 2019)
C. 1539. Let \(\displaystyle E\) denote the point on side \(\displaystyle AB\) of a square \(\displaystyle ABCD\) which divides the side \(\displaystyle 1:3\), with the shorter segment lying closer to \(\displaystyle A\). Let \(\displaystyle F\) be an arbitrary point of diagonal \(\displaystyle BD\). Determine the minimum of the sum \(\displaystyle AF+EF\).
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vegyük a négyzet oldalát egységnyinek: \(\displaystyle AB=1\).
Először tükrözzük az \(\displaystyle E\) pontot a négyzet \(\displaystyle BD\) átlójára, képe legyen \(\displaystyle E'\). Ekkor \(\displaystyle E'\) rajta lesz a \(\displaystyle BC\) oldalon (a \(\displaystyle C\)-hez közelebbi negyedelőpont lesz) és \(\displaystyle FE=FE'\) (a tengelyes tükrözés tulajdonságai miatt), azaz a feledattal ekvivalens \(\displaystyle AF+E'F\) összeg minimumát keresni.
Így az \(\displaystyle AFE'\) töröttvonal hosszának minimumát keressük, és ez a töröttvonal akkor a legrövidebb, ha egyenes (a háromszög-egyenlőtlenség miatt), azaz az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle F\) és \(\displaystyle E'\) pontoknak egy egyenesen kell lennie. Ezek alapján a legjobb \(\displaystyle F\) nem más, mint \(\displaystyle AE'\)-nek és \(\displaystyle BD\)-nek a metszéspontja (lásd a következő ábrán).
Ekkor a keresett \(\displaystyle AF+E'F\) minimuma nem más mint az \(\displaystyle AE'\) szakasz hossza. Ennek meghatározásához írjuk fel a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle ABE'\) háromszögre:
\(\displaystyle AE'= \sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{5}{4}.\)
Azaz az \(\displaystyle AF+EF\) összeg minimuma \(\displaystyle \frac{5}{4}\).
Statistics:
104 students sent a solution. 5 points: 56 students. 4 points: 10 students. 3 points: 13 students. 2 points: 7 students. 1 point: 6 students. 0 point: 10 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019