Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1540. feladat (2019. április)

C. 1540. Az \(\displaystyle ax^2+bx+c\) másodfokú polinom együtthatói egész számok, közülük \(\displaystyle a>0\). A polinomnak két különböző, 1-nél kisebb pozitív gyöke van. Határozzuk meg \(\displaystyle a\) lehetséges legkisebb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először is írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét az adott egyenletre. A két gyök

\(\displaystyle x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.\)

Mivel van két különböző valós gyöke, így a diszkrimináns pozitív:

\(\displaystyle {b^2-4ac}>0,\)

azaz

\(\displaystyle {b^2>4ac}.\)

Továbbá abból, hogy mindkét gyök pozitív következik, hogy \(\displaystyle b<0\) és \(\displaystyle c>0\) (ha \(\displaystyle b>0\) vagy \(\displaystyle c<0\) lenne, akkor \(\displaystyle -b-\sqrt{b^2-4ac}\) negatív lenne). A gyökök 1-nél kisebbek, így teljesülnie kell, hogy

\(\displaystyle \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}<1,\)

amit átrendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt{b^2-4ac}<2a+b.\)

Mivel a bal oldal nem negatív, így a jobb oldal sem az, azaz olyan \(\displaystyle a,b\)-ket keresünk, melyekre fennáll, hogy

\(\displaystyle -b<2a.\)

Most térjünk vissza a

\(\displaystyle \sqrt{b^2-4ac}<2a+b\)

egyenlőtlenségre, és emeljük négyzetre mindkét oldalt (mindkét oldal pozitív, így megtehetjük, és nem fordul a relációsjel). Kapjuk, hogy

\(\displaystyle b^2-4ac<4a^2+4ab+b^2.\)

Ezt nullára rendezve és egyszerűsítve \(\displaystyle 4a\)-val

\(\displaystyle 0<a+b+c\)

adódik.

Azaz olyan \(\displaystyle a,b,c\)-t keresünk, melyekre teljesül az alábbi három egyenlőtlenség:

\(\displaystyle 4ac<b^2, \)\(\displaystyle {(1)} \)
\(\displaystyle -b<2a, \)\(\displaystyle {(2)}\)
\(\displaystyle -b<a+c.\)\(\displaystyle {(3)}\)

Vessük össze (1)-et és (2) négyzetét:

\(\displaystyle 4ac<b^2<4a^2,\)

ebből következik, hogy \(\displaystyle c<a\).

Most képzeljük úgy, hogy először \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) értékét választjuk ki megfelelően. Ekkor \(\displaystyle -b=a+c-1\)-et érdemes választani, mert (2) alapján ennél kapjuk a lehető legnagyobb értéket \(\displaystyle |b|\)-re, így ha ezzel sem teljesül (3), akkor semmivel sem. (A (2) feltétel pedig teljesül, ha (3) teljesül, hiszen \(\displaystyle c<a\).)

Ezután ezt (1)-be behelyettesítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle 4ac \leq (a+c-1)^2.\)

Innen a négyzetreemelés elvégzése, rendezés, és teljes négyzetté alakítás után:

\(\displaystyle 4c \leq (a-c-1)^2.\)

Mivel \(\displaystyle c\geq 1 \), így \(\displaystyle a-c-1 \geq 3,\) azaz \(\displaystyle a \geq c+1+3\geq 5\). Így a lehetséges legkisebb felmerülő érték \(\displaystyle a\)-ra az 5. Ha \(\displaystyle a=5\), akkor \(\displaystyle c=1\) és ekkor \(\displaystyle b=-(a+c-1)=-5\)-öt érdemes választani, ezek pedig valóban kielégítik a feladat feltételeit, az \(\displaystyle 5x^2-5x+1\) polinom gyökei: \(\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 5\cdot 1}}{2\cdot 5}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}\), ezek valóban különböző, pozitív, 1-nél kisebb számok.

Tehát \(\displaystyle a\) lehetséges legkisebb értéke 5.


Statisztika:

A C. 1540. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai