Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1541. feladat (2019. április)

C. 1541. Bizonyítsuk be, hogy létezik 2019 egymást követő pozitív egész szám, melyek között pontosan 19 darab prím található.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az első 20 prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71. Azaz a 20. prímszám a 71, így az első 2019 pozitív egész szám nem jó választás. Ehhez hasonlóan látható, hogy nem lesz jó 2-től 2020-ig sem, 3-tól 2021-ig sem, az eddigi esetek mindegyikében 19-nél (jóval) több prímszámot találunk. Egyesével haladunk tovább, az előző 2019 számból elhagyjuk a legkisebbet és helyette bevesszük az következő egész számot (az eddigi legnagyobbnál eggyel nagyobbat). Minden lépésben a prímek száma vagy nem változik, vagy eggyel csökken, vagy eggyel nő.

Most vegyük a következő 2019 szomszédos számot: \(\displaystyle 2020!+2, 2020!+3, \dots ,2020!+2020\). Jól látható, hogy ezen számok között nincs prím, hiszen \(\displaystyle 2020!+k\) egy olyan \(\displaystyle k\)-val osztható szám, ami \(\displaystyle k\)-nál nagyobb (ha \(\displaystyle 2\leq k\leq 2020\)). Azaz a több, mint 20 prímtől lépésről lépésre lejutottunk oda, hogy 0 prím van a 2019 szomszédos szám között. Mivel már megállapítottuk, hogy a prímek száma 0, \(\displaystyle \pm 1\)-gyel változhat, azaz közben volt olyan pillanat, amikor 19 prím volt a számok között. Ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statisztika:

A C. 1541. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai