Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1542. (April 2019)

C. 1542. The lengths of the legs in a right-angled triangle \(\displaystyle ABC\) are 5 and 12. Let \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) and \(\displaystyle R\) be points on the inscribed circle of the triangle such that triangle \(\displaystyle PQR\) is similar to triangle \(\displaystyle ABC\). Determine the lengths of the sides of triangle \(\displaystyle PQR\).

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Pitagorasz-tételt alkalmazva az \(\displaystyle ABC\) háromszögre kapjuk, hogy \(\displaystyle AB=13\). A beírt kör sugara legyen \(\displaystyle r\). A háromszög területe \(\displaystyle \frac{5\cdot12}{2}= r s\), ahol az \(\displaystyle s\) félkerület értéke \(\displaystyle s=(5+12+13)/2=15\). Ebből \(\displaystyle r=2\). Mivel a \(\displaystyle PQR\) háromszög körülírt köre az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre, és a derékszögű \(\displaystyle PQR\) háromszög \(\displaystyle PQ\) átfogója átmérő ebben a körben, így hossza 4 (derékszögű háromszög körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja).

Továbbá tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle PQR\) háromszögek hasonlók, azaz a megfelelő oldalaik aránya megegyezik, így

\(\displaystyle \frac{PR}{5}=\frac{QR}{12}=\frac{4}{13}.\)

Ebből \(\displaystyle PR= \frac{20}{13}\) és \(\displaystyle QR= \frac{48}{13}\).

Azaz a \(\displaystyle PQR\) háromszög oldalai \(\displaystyle \frac{20}{13}, \frac{48}{13} \) és 4 hosszúak.


Statistics:

173 students sent a solution.
5 points:111 students.
4 points:31 students.
3 points:12 students.
2 points:10 students.
1 point:3 students.
0 point:2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019