Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1543. feladat (2019. április)

C. 1543. Az \(\displaystyle n\) pozitív egész kitevő mely értékei esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 2^n+1\) és \(\displaystyle 2^n-1\) egyszerre nem lehet 3-mal osztható (hiszen különbségük 2), így a szorzatuk pontosan akkor osztható 9-cel, ha valamelyik osztható 9-cel. Azaz a feladattal ekvivalens megvizsgálni, hogy \(\displaystyle (2^n+1) \cdot (2^n-1)\) mikor osztható 9-cel, azaz kérdés, hogy mely \(\displaystyle n\)-ekre lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

A 4-hatványok kilences maradéka rendre: \(\displaystyle 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, \dots\). Azaz periodikus a maradékok sorozata, 3 hosszú a periódus, és a háromféle maradék: 4, 7 és 1. Ebből látható, hogy pontosan akkor 1 a \(\displaystyle 4^n\) szám 9-es maradéka, ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztható, és pontosan ilyenkor lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

Tehát 3-mal osztható \(\displaystyle n\) esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel.


Statisztika:

A C. 1543. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai