Problem C. 1543. (April 2019)

C. 1543. For what values of the positive integer \(\displaystyle n\) will \(\displaystyle 2^n+1\) or \(\displaystyle 2^n-1\) be divisible by 9?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük észre, hogy \(\displaystyle 2^n+1\) és \(\displaystyle 2^n-1\) egyszerre nem lehet 3-mal osztható (hiszen különbségük 2), így a szorzatuk pontosan akkor osztható 9-cel, ha valamelyik osztható 9-cel. Azaz a feladattal ekvivalens megvizsgálni, hogy \(\displaystyle (2^n+1) \cdot (2^n-1)\) mikor osztható 9-cel, azaz kérdés, hogy mely \(\displaystyle n\)-ekre lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

A 4-hatványok kilences maradéka rendre: \(\displaystyle 4, 7, 1, 4, 7, 1, 4, \dots\). Azaz periodikus a maradékok sorozata, 3 hosszú a periódus, és a háromféle maradék: 4, 7 és 1. Ebből látható, hogy pontosan akkor 1 a \(\displaystyle 4^n\) szám 9-es maradéka, ha \(\displaystyle n\) 3-mal osztható, és pontosan ilyenkor lesz \(\displaystyle 4^n-1\) osztható 9-cel.

Tehát 3-mal osztható \(\displaystyle n\) esetén lesz \(\displaystyle 2^n+1\) vagy \(\displaystyle 2^n-1\) osztható 9-cel.

Statistics:

162 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Bognár 171 András Károly, Dankó Orsolya, Debreczeni Dorina, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Görcs András, Hajdú Bálint, Inokai Dávid, Kis 194 Károly, Molnár 410 István, Molnár Réka, Nagy 551 Levente, Nyitrai Boglárka, Országh Júlia, Páhán Anita Dalma, Riba Dániel, Rozgonyi Gergely, Sepsi Csombor Márton, Somogyi Dalma, Szanyi Attila, Téglás Panna, Valkai Máté, Williams Hajna, Zempléni Lilla.
4 points:	50 students.
3 points:	29 students.
2 points:	30 students.
1 point:	18 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019