Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1545. feladat (2019. április)

C. 1545. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

$$\begin{align*} x^2-y^2 & =\log_2 \frac yx,\\ 3^{x^2+y^2-1}-4\cdot3^{xy}+9 & =0. \end{align*}$$

(Román versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. május 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle x, y \neq 0\) (tört nevezője nem lehet 0, illetve logaritmus definíciója miatt). (Valójában a megadott egyenletek pontosan akkor értelmesek, ha \(\displaystyle xy>0\) is teljesül, ugyanis ez kell ahhoz, hogy az első egyenlet jobb oldala is értelmes legyen.)

Először tekintsük az első egyenletet. Ez a logaritmus definíciója alapján ekvivalens a következővel:

\(\displaystyle 2^{x^2-y^2}=\frac{y}{x},\)

amiből

\(\displaystyle \frac{2^{x^2}}{2^{y^2}}=\frac{y}{x}.\)

Beszorozva a két nevezővel:

\(\displaystyle x \cdot 2^{x^2}=y \cdot 2^{y^2}.\)

Nézzük meg, hogy mi következik ebből az egyenletből. Először is, ha \(\displaystyle x>0\), akkor a bal oldal pozitív, így a jobb oldal is, azaz \(\displaystyle y>0\). Ilyenkor az \(\displaystyle x\cdot 2^{x^2}\) függvény szigorúan monoton növő, hiszen két szigorúan monoton növő pozitív értékű függvény szorzata. Tehát az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y\). Ugyanígy, ha \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle y<0\). Az előző esethez hasonlóan (amitől a mostani csak az előjelek vizsgálatában tér el), kapjuk, hogy \(\displaystyle x\cdot 2^{x^2}\) a negatív félegyenesen is szigorúan monoton növekedő, így \(\displaystyle x=y\) ilyenkor is.

Tehát az első egyenlet akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y\ne 0\).

Helyettesítsünk be \(\displaystyle x=y\)-t a második egyenletbe, ekkor

\(\displaystyle 3^{2x^2-1}-4\cdot3^{x^2}+9=0.\)

Vezessünk be új ismeretlent: \(\displaystyle z:=3^{x^2}\), így kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{1}{3} z^2 - 4z +9=0.\)

Szorozzunk be 3-mal:

\(\displaystyle z^2 - 12z +27=0,\)

majd írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét, amiből:

\(\displaystyle z_{1,2}=3, 9.\)

1. eset: \(\displaystyle z=3\).

\(\displaystyle 3^{x^2}=3=3^1\), amiből \(\displaystyle x= \pm 1 \), az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.

2. eset: \(\displaystyle z=9\).

\(\displaystyle 3^{x^2}=9=3^2\), amiből \(\displaystyle x= \pm \sqrt{2} \), ismét az exponenciális függvény szigorú monotonitását felhasználva.

Azaz négy megoldása van az egyenletrendszernek, \(\displaystyle x=y= \pm1, \pm\sqrt{2} \). Ezeket visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe teljesülnek az egyenletek.


Statisztika:

A C. 1545. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. áprilisi matematika feladatai