Problem C. 1545. (April 2019)
C. 1545. Find the real solutions of
$$\begin{align*} x^2-y^2 & =\log_2 \frac yx,\\ 3^{x^2+y^2-1}-4\cdot3^{xy}+9 & =0. \end{align*}$$(Romanian competition problem)
(5 pont)
Deadline expired on May 10, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle x, y \neq 0\) (tört nevezője nem lehet 0, illetve logaritmus definíciója miatt). (Valójában a megadott egyenletek pontosan akkor értelmesek, ha \(\displaystyle xy>0\) is teljesül, ugyanis ez kell ahhoz, hogy az első egyenlet jobb oldala is értelmes legyen.)
Először tekintsük az első egyenletet. Ez a logaritmus definíciója alapján ekvivalens a következővel:
\(\displaystyle 2^{x^2-y^2}=\frac{y}{x},\)
amiből
\(\displaystyle \frac{2^{x^2}}{2^{y^2}}=\frac{y}{x}.\)
Beszorozva a két nevezővel:
\(\displaystyle x \cdot 2^{x^2}=y \cdot 2^{y^2}.\)
Nézzük meg, hogy mi következik ebből az egyenletből. Először is, ha \(\displaystyle x>0\), akkor a bal oldal pozitív, így a jobb oldal is, azaz \(\displaystyle y>0\). Ilyenkor az \(\displaystyle x\cdot 2^{x^2}\) függvény szigorúan monoton növő, hiszen két szigorúan monoton növő pozitív értékű függvény szorzata. Tehát az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y\). Ugyanígy, ha \(\displaystyle x<0\), akkor \(\displaystyle y<0\). Az előző esethez hasonlóan (amitől a mostani csak az előjelek vizsgálatában tér el), kapjuk, hogy \(\displaystyle x\cdot 2^{x^2}\) a negatív félegyenesen is szigorúan monoton növekedő, így \(\displaystyle x=y\) ilyenkor is.
Tehát az első egyenlet akkor és csak akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y\ne 0\).
Helyettesítsünk be \(\displaystyle x=y\)-t a második egyenletbe, ekkor
\(\displaystyle 3^{2x^2-1}-4\cdot3^{x^2}+9=0.\)
Vezessünk be új ismeretlent: \(\displaystyle z:=3^{x^2}\), így kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{1}{3} z^2 - 4z +9=0.\)
Szorozzunk be 3-mal:
\(\displaystyle z^2 - 12z +27=0,\)
majd írjuk fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét, amiből:
\(\displaystyle z_{1,2}=3, 9.\)
1. eset: \(\displaystyle z=3\).
\(\displaystyle 3^{x^2}=3=3^1\), amiből \(\displaystyle x= \pm 1 \), az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.
2. eset: \(\displaystyle z=9\).
\(\displaystyle 3^{x^2}=9=3^2\), amiből \(\displaystyle x= \pm \sqrt{2} \), ismét az exponenciális függvény szigorú monotonitását felhasználva.
Azaz négy megoldása van az egyenletrendszernek, \(\displaystyle x=y= \pm1, \pm\sqrt{2} \). Ezeket visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe teljesülnek az egyenletek.
Statistics:
27 students sent a solution. 5 points: Ajtai Boglárka, Jankovits András, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Rozgonyi Gergely, Sebe Anna. 4 points: Babolcsay Barbara, Demcsák Ágnes, Gál Bence, Hordós Adél Zita, Kalabay László, Kardkovács Levente, Majerusz Ádám, Szigeti Donát. 3 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2019