Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1546. feladat (2019. május)

C. 1546. Oldjuk meg az egész számpárok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle (x-8)(x-10)=2^y. \)

(Amerikai versenyfeladat)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Az egyenlet bal oldalán két egész szám szorzata áll, így a jobb oldal értéke is egész, vagyis \(\displaystyle y\) nemnegatív egész szám. Tehát a jobb oldal kettőhatvány, így a bal oldali szorzat mindkét tényezőjének abszolútértéke kettőhatvány kell, hogy legyen. Ráadásul a bal oldali két tényező különbsége 2, azaz két olyan kettőhatvány abszolútértéke áll a bal oldalon, amiknek a különbsége 2. A kettőhatványok különbségsorozata szigorúan monoton nő, pontosan két kettőhatvány van, aminek a különbsége 2: a 2 és a 4.

Ezek alapján az előjeleket is figyelembe véve 2 eset lehetséges:

1. eset: \(\displaystyle x-8=4\) és \(\displaystyle x-10=2\). Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=12\).

2. eset: \(\displaystyle x-8=-2\) és \(\displaystyle x-10=-4\) Ekkor \(\displaystyle 8=2^y\), azaz \(\displaystyle y=3\) és \(\displaystyle x=6\).

Ezeket az értékeket visszahelyettesítve látható, hogy teljesül az egyenlet.

Azaz két megoldás van: \(\displaystyle x=12, y=3\) és \(\displaystyle x=6, y=3\).


Statisztika:

A C. 1546. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai