Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1547. feladat (2019. május)

C. 1547. Az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög \(\displaystyle EF\) oldalának felezőpontját jelölje \(\displaystyle K\). Adjuk meg az \(\displaystyle ABCD\) töröttvonalon azt az \(\displaystyle L\) pontot, melyre az \(\displaystyle AKL\) háromszög területe egyenlő a hatszög területének \(\displaystyle \frac25\) részével.

Bakos Tibor feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Feltehetjük, hogy a hatszög területe 1. Keressük az \(\displaystyle ABCD\) töröttvonalon azt az \(\displaystyle L\) pontot, melyre az \(\displaystyle ALK\) háromszög területe a hatszög területének \(\displaystyle \frac25\) része.

Ehhez először számoljuk ki három háromszög területét:

1. \(\displaystyle T_{ABK}\)

Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle ABK\) háromszög területe éppen az átlaga az \(\displaystyle ABF\) és az \(\displaystyle ABE\) háromszög területének, hiszen \(\displaystyle K\) éppen felezőpontja az \(\displaystyle EF\) szakasznak, így a három háromszög \(\displaystyle AB\)-hez tartozó magasságaira teljesül, hogy a \(\displaystyle ABK\)-beli (\(\displaystyle K\)-hoz tartozó) átlaga a másik kettőnek. Legyen \(\displaystyle a\) a hatszög oldala és \(\displaystyle O\) a középpontja. Ekkor \(\displaystyle T_{ABF}= \frac12 a\cdot a \cdot \sin 120^{\circ}=\frac12 a\cdot a \cdot \sin 60^{\circ}= \frac16,\) hiszen utóbbi pont az \(\displaystyle ABO\) háromszög területe. Az \(\displaystyle ABE\) háromszög területét például megkaphatjuk, ha a hatszög területének feléből kivonjuk az \(\displaystyle AEF\) háromszög területét: \(\displaystyle \frac12 - \frac16= \frac13\).

\(\displaystyle T_{ABK}= \frac{T_{ABF}+T_{ABE}}{2}=\frac{\frac16+\frac13}{2}=\frac14.\)

2. \(\displaystyle T_{ACK}\)

Az 1. ponthoz hasonlóan, az \(\displaystyle ACK\) háromszög területe átlaga az \(\displaystyle ACF\) és az \(\displaystyle ACE\) háromszög területének:

\(\displaystyle T_{ACK}= \frac{T_{ACF}+T_{ACE}}{2}=\frac{\frac13+\frac12}{2}=\frac{5}{12}.\)

3. \(\displaystyle T_{ADK}\)

Az \(\displaystyle ADK\) háromszög területe az \(\displaystyle ADEF\) trapéz területének a kétharmada (szintén területképletek alapján):

\(\displaystyle T_{ADK}=\frac12 \cdot \frac23 =\frac13.\)

Ha az \(\displaystyle AKL\) háromszög \(\displaystyle L\) csúcsát egy szakaszon (\(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) valamelyikén) mozgatjuk, akkor a terület lineárisan változik, hiszen az \(\displaystyle AK\) alap rögzített, az ehhez tartozó magasság pedig lineárisan változik.

Az \(\displaystyle L=A,B,C,D\) esetekben az \(\displaystyle AKL\) háromszög területe rendre \(\displaystyle 0,\frac14,\frac{5}{12},\frac{1}{3}\), ezért a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle CD\) szakaszokon lesz egy-egy olyan \(\displaystyle L\) pont, melyre teljesül a feladat feltétele. (Hiszen \(\displaystyle \frac14<\frac25<\frac{5}{12}\) és \(\displaystyle \frac13<\frac25<\frac{5}{12}\).)

1. eset: megfelelő \(\displaystyle L\) keresése a \(\displaystyle BC\) szakaszon

Ha \(\displaystyle L\) azonos \(\displaystyle B\)-vel, akkor a keresett terület \(\displaystyle \frac14\), ha \(\displaystyle C\)-vel, akkor \(\displaystyle \frac{5}{12}\); \(\displaystyle L\)-nek olyan arányban kell osztani a \(\displaystyle BC\) szakaszt, hogy a kívánt \(\displaystyle \frac{2}{5}\) területet adja. Legyen \(\displaystyle \alpha\) az a valós szám, melyre

\(\displaystyle \frac{BL}{LC}=\frac{\alpha}{1-\alpha}.\)

Ekkor a következő egyenlőség teljesül a linearitás alapján:

\(\displaystyle \alpha \frac{5}{12} + (1- \alpha) \frac14 = \frac25.\)

Ezt átalakítva:

\(\displaystyle \frac{5}{12} \alpha- \frac14 \alpha = \frac25 - \frac 14,\)

\(\displaystyle \frac16 \alpha = \frac{3}{20},\)

\(\displaystyle \alpha = \frac{9}{10}.\)

Azaz \(\displaystyle L\) megfelelő választása ebben az esetben a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi tizedelőpontja.

2. eset: \(\displaystyle L\) keresése a \(\displaystyle CD\) szakaszon

Hasonló módon itt is bevezetünk egy \(\displaystyle \beta\) arányt, melyre

\(\displaystyle \frac{CL}{LD}= \frac{\beta}{1-\beta}.\)

Ekkor \(\displaystyle L\) pontosan akkor megfelelő, ha:

\(\displaystyle \beta \frac13 + (1-\beta) \frac{5}{12}= \frac25.\)

Átalakítva:

\(\displaystyle \frac13 \beta - \frac{5}{12} \beta = \frac25 - \frac{5}{12},\)

\(\displaystyle \frac{1}{12} \beta= \frac{1}{60},\)

\(\displaystyle \beta= \frac15.\)

Azaz \(\displaystyle L\) megfelelő választása ebben az esetben a \(\displaystyle CD\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi ötödölőpontja.

Így \(\displaystyle L\) vagy a \(\displaystyle BC\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi tizedelőpontja vagy a \(\displaystyle CD\) szakasz \(\displaystyle C\)-hez legközelebbi ötödölőpontja.


Statisztika:

A C. 1547. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai