Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1549. feladat (2019. május)

C. 1549. Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja legyen \(\displaystyle F\), továbbá legyen az \(\displaystyle AF\) szakasz egy tetszőleges pontja \(\displaystyle Z\). \(\displaystyle F\)-ben merőlegest állítunk \(\displaystyle AB\)-re és felmérjük rá az \(\displaystyle {FX=FA}\) távolságot. \(\displaystyle B\)-ben is merőlegest állítunk \(\displaystyle AB\)-re és felmérjük rá a \(\displaystyle BY=AZ\) távolságot úgy, hogy \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az \(\displaystyle AB\) egyenesének egyazon oldalán legyenek. Mekkora lehet az \(\displaystyle XZY\) szög?

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Ha a \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle A\) pontba esik, akkor az \(\displaystyle Y\) pont a \(\displaystyle B\) ponttal egyezik meg, és az \(\displaystyle XZY\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).

Ha \(\displaystyle Z\) pont az \(\displaystyle F\) pontba esik, akkor az \(\displaystyle XZBY\) négyszög négyzet, az \(\displaystyle XZY\) háromszög egyenlő szárú derékszögű háromszög, \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).

Ha a \(\displaystyle Z\) pont máshol helyezkedik el, arra az esetre adunk két megoldást.

1. megoldás.

Feltehető, hogy \(\displaystyle AF=FB=FX=1\). Továbbá legyen \(\displaystyle AZ=z\neq1\), \(\displaystyle XZF \angle = \alpha\) és \(\displaystyle YZB \angle= \beta\). Ekkor a keresett szög \(\displaystyle XZY \angle = \alpha - \beta\). (Világos, hogy \(\displaystyle \beta\leq 45^\circ\leq \alpha\).)

Nézzük meg a szögek tangensét:

\(\displaystyle \tg \alpha = \frac{1}{1-z}\)

és

\(\displaystyle \tg \beta= \frac{z}{2-z}.\)

Most vizsgáljuk meg \(\displaystyle \alpha - \beta\) tangensét, használjuk az addiciós tételt, és írjuk be a fenti összefüggéseinket:

\(\displaystyle \tg (\alpha - \beta)= \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1+ \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{1}{1-z}-\frac{z}{2-z}}{1+\frac{z}{(1-z)(2-z)} }= \frac{(2-z)- z(1-z)}{(1-z)(2-z)+z}=\frac{z^2-2z+2}{z^2-2z+2}=1.\)

Azaz \(\displaystyle \tg XZY \angle=1\) és mivel \(\displaystyle XZY \angle\) hegyesszög, így \(\displaystyle XZY \angle= 45^\circ\).

Azaz a keresett \(\displaystyle XZY\) szög \(\displaystyle 45^\circ\).

Ha \(\displaystyle AZ=1\), akkor a \(\displaystyle Z\) pont megegyezik az \(\displaystyle F\) ponttal.

2. megoldás.

\(\displaystyle AFX\) és \(\displaystyle XFB\) egyenlő szárú derékszögű háromszögek, így \(\displaystyle AX=BX\) és \(\displaystyle XAF\angle=XBF\angle=45^{\circ}\). Ez utóbbiból \(\displaystyle XBY\angle=FBY\angle-XBF\angle=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}\).

Mivel \(\displaystyle AZ=BY\), \(\displaystyle AX=BX\) és \(\displaystyle XAZ\angle=XBY\angle(=45^{\circ})\), ezért az \(\displaystyle AZX\) és a \(\displaystyle BYX\) háromszögek egybevágóak. Emiatt \(\displaystyle XZ=XY\) és \(\displaystyle AXZ\angle=BXY\angle\) is teljesül.

Mivel \(\displaystyle AXB\angle=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}\), ezekből már következik, hogy \(\displaystyle ZXY\angle=ZXB\angle+BXY\angle=ZXB\angle+AXZ\angle=AXB\angle=90^{\circ}\). tehát az \(\displaystyle XYZ\) háromszög is egyenlő szárú és derékszögű, így \(\displaystyle XZY\angle=45^{\circ}\).


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:62 versenyző.
4 pontot kapott:11 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:11 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai