Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1549. feladat (2019. május)

C. 1549. Az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontja legyen \(\displaystyle F\), továbbá legyen az \(\displaystyle AF\) szakasz egy tetszőleges pontja \(\displaystyle Z\). \(\displaystyle F\)-ben merőlegest állítunk \(\displaystyle AB\)-re és felmérjük rá az \(\displaystyle {FX=FA}\) távolságot. \(\displaystyle B\)-ben is merőlegest állítunk \(\displaystyle AB\)-re és felmérjük rá a \(\displaystyle BY=AZ\) távolságot úgy, hogy \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) az \(\displaystyle AB\) egyenesének egyazon oldalán legyenek. Mekkora lehet az \(\displaystyle XZY\) szög?

Javasolta: Surányi László (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.


1. Megoldás.

Feltehető, hogy \(\displaystyle AF=FB=FX=1\). Továbbá legyen \(\displaystyle AZ=z\), \(\displaystyle XZF \angle = \alpha\) és \(\displaystyle YZB \angle= \beta\). Ekkor a keresett szög \(\displaystyle XZY \angle = \alpha - \beta\). (Világos, hogy \(\displaystyle \beta\leq 45^\circ\leq \alpha\).)

Nézzük meg a szögek tangensét:

\(\displaystyle \tg \alpha = \frac{1}{1-z}\)

és

\(\displaystyle \tg \beta= \frac{z}{2-z}.\)

Most vizsgáljuk meg \(\displaystyle \alpha - \beta\) tangensét, használjuk az addiciós tételt, és írjuk be a fenti összefüggéseinket:

\(\displaystyle \tg (\alpha - \beta)= \frac{\tg \alpha - \tg \beta}{1+ \tg \alpha \tg \beta} = \frac{\frac{1}{1-z}-\frac{z}{2-z}}{1+\frac{z}{(1-z)(2-z)} }= \frac{(2-z)- z(1-z)}{(1-z)(2-z)+z}=\frac{z^2-2z+2}{z^2-2z+2}=1.\)

Azaz \(\displaystyle \tg XZY \angle=1\) és mivel \(\displaystyle XZY \angle\) hegyesszög, így \(\displaystyle XZY \angle= 45^\circ\).

Azaz a keresett \(\displaystyle XZY\) szög \(\displaystyle 45^\circ\).


Statisztika:

A C. 1549. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. májusi matematika feladatai