Problem C. 1550. (May 2019)

C. 1550. Find all positive integers \(\displaystyle n\) satisfying \(\displaystyle n\cdot(1!+2!+3!+\cdots+n!)=(n+1)!\).

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Nézzük meg a bal oldalon levő utolsó két tag összegét:

\(\displaystyle n((n-1)!+n!)= n!+ n \cdot n!= (n+1)!,\)

azaz a bal oldalon levő utolsó két tag összege egyenlő a jobb oldallal. Mivel a bal oldalon minden összeadandó pozitív, ezért nem állhat az összeg 2-nél több tagból.

Ha \(\displaystyle n=2\), akkor mindkét oldal 6, azaz teljesül az egyenlőség, így ez megoldás.

Ha \(\displaystyle n=1\), akkor bal oldal kisebb, mint a jobb oldal.

Azaz egy megoldás van, \(\displaystyle n=2\).

Statistics:

99 students sent a solution.
5 points:	86 students.
4 points:	6 students.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019