Problem C. 1551. (May 2019)

C. 1551. In a triangle \(\displaystyle ABC\), the lengths of medians \(\displaystyle AD\) and \(\displaystyle BE\) are 3 cm and 6 cm, respectively, and the area of the triangle is \(\displaystyle 3\sqrt{15}\, \mathrm{cm}^2\). Determine the length of the third median, given that it is different from the other two.

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tükrözzük a háromszöget középpontosan \(\displaystyle E\)-re, ekkor \(\displaystyle ABCB'\) paralelogrammát kapjuk. \(\displaystyle F\) tükörképe \(\displaystyle F'\), ami a \(\displaystyle CB'\) szakasz felezőpontja.

Ekkor a középpontos tükrözés tulajdonságai miatt

\(\displaystyle AD=3,\)

\(\displaystyle BE=DF'=6,\)

\(\displaystyle CF=F'A=x.\)

Nézzük az \(\displaystyle ADF'\) háromszög területét. Az ábrán látható módon egyrészt

\(\displaystyle t_{ADF'}=2t_{ABC}-t_{BDA}-t_{F'B'A}-t_{DCF'} =\left(2-\frac12-\frac12-\frac14 \right)t_{ABC}= \frac34 \cdot 3\sqrt{15}= \frac{9 \sqrt{15}}{4}.\)

Másrészt a Hérón-képletből

\(\displaystyle t_{ADF'}= \sqrt{\frac{x+9}{2} \cdot \frac{x+3}{2} \cdot \frac{x-3}{2} \cdot \frac{9-x}{2}}.\)

Azaz

\(\displaystyle \sqrt{\frac{x+9}{2} \cdot \frac{x+3}{2} \cdot \frac{x-3}{2} \cdot \frac{9-x}{2}}=\frac{9 \sqrt{15}}{4}.\)

Ezt átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle (81-x^2)(x^2-9)=81 \cdot 15,\)

\(\displaystyle 0=x^4-90x^2+1944.\)

Alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét kapjuk, hogy \(\displaystyle x^2=54\) vagy \(\displaystyle 36\). Mivel \(\displaystyle x\) pozitív lehet csak, így \(\displaystyle x=\sqrt{54}\) vagy \(\displaystyle x=6\).

1. eset \(\displaystyle x=\sqrt{54}\)

Ez jó, mert ilyenkor az \(\displaystyle ADF'\) háromszögben teljesülnek a háromszög egyenlőtlenségek, ez a háromszög szerkeszthető. Innen \(\displaystyle ABC\) háromszög is könnyen szerkeszthető, azaz van ilyen háromszög. (Az \(\displaystyle ADF'\) háromszög súlypontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle A\) pont \(\displaystyle E\)-re vett tükörképe \(\displaystyle C\), és így tovább.)

2. eset \(\displaystyle x=6\)

Ekkor \(\displaystyle s_b=s_c\), ami a feledat szövege alapján nem lehet, így ez az eset nem ad megoldást.

Azaz \(\displaystyle CF=\sqrt{54}\) cm.

Megjegyzés. Az 1. esetben tulajdonképpen annak az ismert állításnak az indoklását vázoltuk, hogy pontosan akkor létezik olyan háromszög, mely súlyvonalainak hossza \(\displaystyle x,y,z\), ha az \(\displaystyle x,y,z\) szakaszokból háromszög szerkeszthető. Ez igazolja, hogy az 1. esetben kapott eset tényleg előfordulhat, létezik ilyen háromszög. Mivel a 2. esetben nem kapunk megoldást, és a feladat szövegéből következtethetünk rá, hogy a szóban forgó háromszög létezik, így teljes értékű megoldáshoz a fenti észrevétel indoklását nem várjuk el.

Statistics:

24 students sent a solution.
5 points:	Ajtai Boglárka, Gál Bence, Hordós Adél Zita, Jankovits András, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Székelyhidi Klára.
4 points:	Ámmer Fanni, Kalabay László, Rozgonyi Gergely, Szigeti Donát, Tóth Imre.
3 points:	1 student.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019