Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1552. (May 2019)

C. 1552. Prove that if \(\displaystyle 0<a<1\) and \(\displaystyle 0<b<1\) then \(\displaystyle \log_a\frac{2ab}{a+b}\cdot\log_b\frac{2ab}{a+b}\ge 1\).

Proposed by S. Róka, Nyíregyháza

(5 pont)

Deadline expired on June 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle A:= \frac{1}{a}\) és \(\displaystyle B:= \frac{1}{b}\) jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle 1<A,B\) és \(\displaystyle \frac{2ab}{a+b}=\frac{\frac{2}{AB}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}=\frac{2}{A+B}\). Írjuk fel a feladatban szereplő egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \log_A \frac{2}{A+B} \cdot \log_B \frac{2}{A+B} \geq 1,\)

hiszen az alapcserék egy-egy \(\displaystyle -1\)-es szorzót hoznak be. Továbbá ezzel ekvivalens a következő egyenlőtlenség (szintén két \(\displaystyle -1\)-es szorzó jön be):

\(\displaystyle \log_A \frac{A+B}{2} \cdot \log_B \frac{A+B}{2} \geq 1.\)

Most térjünk át közös alapra, és szorozzunk be a nevezőkkel:

\(\displaystyle \frac{\ln \frac{A+B}{2}}{\ln A} \cdot \frac{ \ln \frac{A+B}{2}}{\ln B}\geq 1,\)

\(\displaystyle \ln \frac{A+B}{2} \cdot \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln A \cdot \ln B,\)

ahol \(\displaystyle \ln\) a természetes alapú logaritmust jelöli. Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát, ekkor kapjuk, hogy

\(\displaystyle 2 \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \ln A + \ln \ln B, \)

azaz a bizonyítandó állítás ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:

\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}. \)

Ez pedig igaz, hiszen az \(\displaystyle \ln x\) függvény konkávitását és monotonitását használva:

\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \frac{\ln A+\ln B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}.\)

Tehát az igazolni kívánt egyenlőtlenség valóban teljesül.


Statistics:

19 students sent a solution.
5 points:Ajtai Boglárka, Hordós Adél Zita, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Szigeti Donát.
4 points:Gál Bence, Jankovits András, Tóth Imre.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019