Problem C. 1552. (May 2019)
C. 1552. Prove that if \(\displaystyle 0<a<1\) and \(\displaystyle 0<b<1\) then \(\displaystyle \log_a\frac{2ab}{a+b}\cdot\log_b\frac{2ab}{a+b}\ge 1\).
Proposed by S. Róka, Nyíregyháza
(5 pont)
Deadline expired on June 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle A:= \frac{1}{a}\) és \(\displaystyle B:= \frac{1}{b}\) jelöléseket. Ekkor \(\displaystyle 1<A,B\) és \(\displaystyle \frac{2ab}{a+b}=\frac{\frac{2}{AB}}{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}}=\frac{2}{A+B}\). Írjuk fel a feladatban szereplő egyenlőtlenséget:
\(\displaystyle \log_A \frac{2}{A+B} \cdot \log_B \frac{2}{A+B} \geq 1,\)
hiszen az alapcserék egy-egy \(\displaystyle -1\)-es szorzót hoznak be. Továbbá ezzel ekvivalens a következő egyenlőtlenség (szintén két \(\displaystyle -1\)-es szorzó jön be):
\(\displaystyle \log_A \frac{A+B}{2} \cdot \log_B \frac{A+B}{2} \geq 1.\)
Most térjünk át közös alapra, és szorozzunk be a nevezőkkel:
\(\displaystyle \frac{\ln \frac{A+B}{2}}{\ln A} \cdot \frac{ \ln \frac{A+B}{2}}{\ln B}\geq 1,\)
\(\displaystyle \ln \frac{A+B}{2} \cdot \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln A \cdot \ln B,\)
ahol \(\displaystyle \ln\) a természetes alapú logaritmust jelöli. Vegyük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát, ekkor kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2 \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \ln A + \ln \ln B, \)
azaz a bizonyítandó állítás ekvivalens a következő egyenlőtlenséggel:
\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}. \)
Ez pedig igaz, hiszen az \(\displaystyle \ln x\) függvény konkávitását és monotonitását használva:
\(\displaystyle \ln \ln \frac{A+B}{2} \geq \ln \frac{\ln A+\ln B}{2} \geq \frac {\ln \ln A + \ln \ln B}{2}.\)
Tehát az igazolni kívánt egyenlőtlenség valóban teljesül.
Statistics:
19 students sent a solution. 5 points: Ajtai Boglárka, Hordós Adél Zita, Kis 194 Károly, Mészáros 916 Márton, Molnár 410 István, Nyitrai Boglárka, Szigeti Donát. 4 points: Gál Bence, Jankovits András, Tóth Imre. 3 points: 1 student. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2019