Problem C. 1553. (September 2019)

C. 1553. Determine the constant term of the expression \(\displaystyle \left(x^{12}+\frac1{x^{18}}\right)^{25}\).

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A binomiális tétel szerint kifejtve a hatványt egy tag a következőképpen írható fel:

\(\displaystyle \binom{25}{k} \cdot x^{12k} \cdot x^{-18(25-k)}.\)

Ahhoz, hogy a konstans tagját kapjuk meg, \(\displaystyle x\) kitevőjének 0-nak kell lennie, azaz a

\(\displaystyle 12k+ [-18(25-k)]=0\)

egyenlőségnek teljesülnie kell. Ezt átalakítva kapjuk, hogy

\(\displaystyle 30k=450,\)

azaz

\(\displaystyle k=15.\)

Ezek alapján a kifejezés konstans tagja \(\displaystyle \binom{25}{15}\).

Statistics:

168 students sent a solution.
5 points:	105 students.
4 points:	25 students.
3 points:	10 students.
2 points:	7 students.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019