Problem C. 1555. (September 2019)

C. 1555. Solve the equation

\(\displaystyle x+y^2=4z^2 \)

over the set of positive prime numbers.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először alakítsuk át az egyenletet:

\(\displaystyle x=4z^2-y^2,\)

\(\displaystyle x=(2z-y)(2z+y).\)

Mivel \(\displaystyle x,y\) és \(\displaystyle z\) pozitív prímek, ezért \(\displaystyle 2z+y>2z-y\) és \(\displaystyle 2z-y=1\), valamint \(\displaystyle 2z+y=x\). (Különben \(\displaystyle 2z-y\) egy 1-től és \(\displaystyle x\)-től különböző pozitív osztója lenne \(\displaystyle x\)-nek, ami lehetetlen, hiszen \(\displaystyle x\) prímszám.) Ezt átrendezve kapjuk, hogy \(\displaystyle y=2z-1\) és \(\displaystyle x=2z+(2z-1)=4z-1\). Tehát az olyan \(\displaystyle z\) pozitív egész számokat keressük, melyekre a \(\displaystyle z, (y=)2z-1, (x=)4z-1\) számok mindegyike prímszám.

Vizsgáljuk meg a \(\displaystyle z\) szám 3-mal vett osztási maradékát:

1. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztható
Ekkor mivel prím, így \(\displaystyle z=3\). Visszahelyettesítve \(\displaystyle y=5\) és \(\displaystyle x=11\), tehát ez a választás megfelelő.

2. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztva 1 maradékot ad
Ekkor az \(\displaystyle x=4z-1\) szám 3-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 4\cdot1-1=3\), vagyis 0, így \(\displaystyle x\) 3-mal osztható prím. Tehát \(\displaystyle x=3\), amiből \(\displaystyle z=1\) lenne. Ez ellentmondás, hiszen \(\displaystyle z\)-nek is prímnek kell lennie.

3. eset: \(\displaystyle z\) 3-mal osztva 2 maradékot ad
Ekkor az \(\displaystyle y=2z-1\) szám 3-mal való osztási maradéka \(\displaystyle 2\cdot2-1=3\), vagyis \(\displaystyle y\) 3-mal osztható prím. Tehát \(\displaystyle y=3\), amiből \(\displaystyle z=2\) és \(\displaystyle x=7\), amik valóban prímek, azaz megoldást adnak.

Az 1. és 3. esetből adódó megoldásokat visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe teljesül az egyenlőség. Tehát két megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=11, y=5, z=3\) és \(\displaystyle x=7, y=3, z=2\).

Statistics:

275 students sent a solution.
5 points:	98 students.
4 points:	26 students.
3 points:	37 students.
2 points:	49 students.
1 point:	47 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019