Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1556. feladat (2019. szeptember)

C. 1556. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle C\) csúcsából induló belső szögfelező a szemközti oldalt a \(\displaystyle P\) pontban metszi. A \(\displaystyle P\) pont távolsága az oldalaktól \(\displaystyle \frac{24}{11}\), továbbá \(\displaystyle AC=6\) és \(\displaystyle BC=5\). Határozzuk meg az \(\displaystyle AB\) oldal hosszát.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe felírható, mint az \(\displaystyle APC\) és a \(\displaystyle PBC\) háromszögek területének összege:

\(\displaystyle T_{ABC}= \frac{6 \cdot \frac{24}{11}}{2}+\frac{5 \cdot \frac{24}{11}}{2} =12.\)

Másrészről az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét felírhatjuk a Hérón-képlet segítségével is:

\(\displaystyle T_{ABC}= \sqrt{\frac{11+c}{2} \cdot \frac{11+c-10}{2} \cdot \frac{11+c-12}{2} \cdot \frac{11+c-2c}{2}}= \sqrt{\frac{11+c}{2}\cdot\frac{1+c}{2}\cdot\frac{-1+c}{2}\cdot\frac{11-c}{2}}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{\frac{(11^2-c^2)(c^2-1)}{2^4}}= \sqrt{\frac{-c^4+122c^2-121}{16}}.\)

Ezekből

\(\displaystyle 12=\sqrt{\frac{-c^4+122c^2-121}{16}},\)

ezt négyzetre emelve, átszorozva, majd egy oldalra rendezve:

\(\displaystyle 144=\frac{-c^4+122c^2-121}{16},\)

\(\displaystyle 2304=-c^4+122c^2-121,\)

\(\displaystyle c^4-122c^2+2425=0.\)

Ez egy \(\displaystyle c^2\)-ben másodfokú egyenlet. Alkalmazva a másodfokú egyenlet megoldóképletét kapjuk, hogy \(\displaystyle c^2\) értéke 25 vagy 97 lehet. Mivel \(\displaystyle c\) pozitív, ezért

\(\displaystyle c= 5 \text{ vagy } \sqrt{97}.\)

Az \(\displaystyle AB\) oldal hossza \(\displaystyle \sqrt{97} \text{ vagy } 5\).

Mindkét lehetőség valóban előfordulhat, hiszen az így kapott háromszögek léteznek (teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenségek az oldalakra), és a Hérón-képlet szerint területük 12. A \(\displaystyle P\) pont az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) oldalaktól egyforma távolságra kell legyen, hiszen a szögfelezőn van, így a fenti egyenlet alapján ennek a távolságnak \(\displaystyle \frac{24}{11}\)-nek kell lennie, hogy az \(\displaystyle APC\) és \(\displaystyle BPC\) háromszögek területének összege kiadja a 12-t.


Statisztika:

A C. 1556. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai