Problem C. 1557. (September 2019)

C. 1557. Two numbers are selected at random from the set of two-digit positive integers. What is the probability that they will have a digit in common?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség

\(\displaystyle P= \dfrac{\text{élek száma}}{\binom{90}{2}}.\)

Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat:

1. típus: \(\displaystyle xx\) alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok)
Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az \(\displaystyle xy\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle y\ne x\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú csúcsokba, ahol \(\displaystyle 0\ne y\ne x\) tetszőleges számjegy (8 db).

2. típus: \(\displaystyle xy\) típusú csúcsok, ahol \(\displaystyle x, y\) különböző és \(\displaystyle y \neq0\) (és természetesen \(\displaystyle x\ne0\), hiszen kétjegyű számról van szó)
Ilyen csúcsból \(\displaystyle 9\cdot8=72\) db van, mindegyikből 33 él indul ki: az \(\displaystyle xz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db), a \(\displaystyle zx\) típusúakba, ahol \(\displaystyle 0\neq z \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle yz\) típusú csúcsokba, ahol \(\displaystyle z \neq x\) tetszőleges számjegy (9 db) és a \(\displaystyle zy\) típusúakba, ahol \(\displaystyle z\notin \{0,x,y\}\) tetszőleges számjegy (7 db).

3. típus: \(\displaystyle x0\) alakú csúcsok (ahol \(\displaystyle x\neq 0\), hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk)
9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az \(\displaystyle y0\) alakú csúcsokkal, ahol \(\displaystyle 0\ne y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db), az \(\displaystyle xy\) alakúakkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y\) tetszőleges számjegy (9 db) és az \(\displaystyle yx\) alakú számokkal, ahol \(\displaystyle 0 \neq y \neq x\) tetszőleges számjegy (8 db).

Azaz az élek száma:

\(\displaystyle \frac{9 \cdot 17+ 72 \cdot 33 + 9 \cdot 25}{2}=1377.\)

Így a keresett valószínűség

\(\displaystyle P=\frac{1377}{4005}=\frac{153}{445}.\)

Azaz \(\displaystyle \frac{153}{445}(\approx0,3438)\) annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.

Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat.

Statistics:

254 students sent a solution.
5 points:	59 students.
4 points:	53 students.
3 points:	37 students.
2 points:	28 students.
1 point:	31 students.
0 point:	42 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019