Problem C. 1558. (September 2019)

C. 1558. Depending on the value of the nonzero parameter \(\displaystyle a\), how many points do the circle \(\displaystyle x^2+y^2=1\) and the parabola \(\displaystyle y=ax^2-1\) have in common?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Helyettesítsük be a feladatban szereplő második egyenletet az elsőbe:

\(\displaystyle x^2+(ax^2-1)^2=1,\)

majd bontsuk fel a zárójelet és rendezzük, ekkor:

\(\displaystyle a^2x^4-2ax^2+x^2=0.\)

Kiemelve \(\displaystyle x^2\)-t:

\(\displaystyle x^2(a^2x^2-2a+1)=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így két eset lehetséges.

1. eset: \(\displaystyle x^2=0\)
Ekkor \(\displaystyle x=0\) megoldás, azaz 1 közös pont biztosan lesz: a \(\displaystyle (0,-1)\).

2. eset: \(\displaystyle a^2x^2-2a+1=0\)
Ilyenkor

\(\displaystyle x^2=\frac{2a-1}{a^2}\)

(\(\displaystyle a \neq 0\) a feladat szövege alapján, így leoszthatunk \(\displaystyle a^2\)-tel). Mivel \(\displaystyle x^2 \geq 0\), így csak \(\displaystyle \frac{2a-1}{a^2} \geq 0,\) azaz \(\displaystyle 2a-1 \geq 0\) esetén kapunk megoldást: \(\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt{2a-1}}{|a|}\).

Tehát, ha \(\displaystyle a > \frac{1}{2}\), akkor még 2 megoldást kapunk (\(\displaystyle a=\frac12\) esetén pedig ismét \(\displaystyle x=0\) adódik).

Azaz a két görbének 1 közös pontja van, ha \(\displaystyle a \leq \frac12\) és 3 közös pontja van, ha \(\displaystyle a > \frac12\).

Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:	Andó Lujza, Arató Zita, Csécsi Marcell, Fekete András Albert, Fiam Regina, Hajdú Bálint, Izsa Regina Mária, Kis 194 Károly, Ludányi Levente, Molnár Réka, Palencsár Enikő, Schenk Anna, Szarkowicz Dániel, Szeibert Barnabás, Vesztergombi András, Viharos Márta Judit.
4 points:	Babolcsay Barbara, Biró 424 Ádám, Heller-Szabó Anna, Horváth 999 Anikó, Kalabay László, Kelemen Anna, Kim 666 Levente, Németh Kristóf, Pásti Bence, Pikéthy Áron, Ráduly Nóra Julianna, Rokonay Szonja, Rusvai Miklós, Schäffer Bálint, Slézia Dávid, Szabó Barbara Noémi, Szigeti Donát, Trombitás Karolina Sarolta.
3 points:	6 students.
2 points:	13 students.
1 point:	19 students.
0 point:	6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2019