Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1559. feladat (2019. szeptember)

C. 1559. Egy tetraéder alaplapja szabályos háromszög, síkba kiterített palástja pedig olyan trapéz, melynek oldalai 10, 10, 10 és 14 egység hosszúak. Adjuk meg a tetraéder éleinek összhosszát és felszínét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyenek a tetraéder csúcsai \(\displaystyle A,B,C, D\) és élei \(\displaystyle a,b,c,d,d,d\) az ábrán látható módon.

A tetraéder palástját terítsük ki a síkba úgy, hogy azt a \(\displaystyle BD\) él mentén vágjuk fel. (Megjegyezzük, hogy szimmetriai okokból feltehető, hogy a \(\displaystyle BD\) él mentén ,,vágtuk fel'' a palástot.)

A kiterített palást általános esetben a \(\displaystyle CAB''DB'\) ötszög lenne, azonban ez most a feltétel szerint egy trapéz. Ez csak úgy lehet, ha a \(\displaystyle B'DB''\) szög egyenesszög. (Ha az egyenesszög \(\displaystyle A\)-nál vagy \(\displaystyle C\)-nél lenne, akkor \(\displaystyle 2d\) is szerepelne az oldalak között, aminek 20-nak kellene lennie. \(\displaystyle B'\)-nél vagy \(\displaystyle B''\)-nél szintén nem lehet egyenesszög, hiszen az ott lévő szögek egy-egy háromszög belső szögei.)

Mivel a palást ebben az esetben a feltétel szerint egy \(\displaystyle 10,10,10,14\) oldalhosszú trapéz, így \(\displaystyle 2b=14\), vagyis \(\displaystyle b=7.\) Mivel \(\displaystyle CB'=AB''\), ezért a trapéz vagy húrtrapéz, vagy paralelogramma. Mivel azonban \(\displaystyle AC\neq B'B''\), ezért ez utóbbi nem lehetséges. Tehát húrtrapézről van szó, és így a \(\displaystyle CB'D\) és \(\displaystyle AB''D\) háromszögek egybevágók (megegyezik két oldaluk és az általuk közbezárt szög), így \(\displaystyle a=c\).

Mivel a trapéz szimmetrikus, ezért a \(\displaystyle CTB'\) háromszögben a \(\displaystyle TB'\) oldal hossza \(\displaystyle (14-10)/2=2\) egység. Itt alkalmazva a Pitagorasz-tételt kapjuk, hogy a trapéz magassága

\(\displaystyle m=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}.\)

Ezt felhasználva a \(\displaystyle TCD\) háromszögben (ahol a \(\displaystyle TD\) oldal hossza: \(\displaystyle 7-2=5\) egység) alkalmazva a Pitagorasz-tételt adódik, hogy

\(\displaystyle c=\sqrt{96+25}=11.\)

Innen a tetraéder éleinek összhossza

\(\displaystyle 10+10+10+7+11 + 11=59,\)

felszíne pedig a trapéz (palást) és az alapháromszög területének összege:

\(\displaystyle A= \frac{(10+14)\sqrt{96}}{2}+ \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = 48 \sqrt6 +25 \sqrt3.\)

Azaz a tetraéder éleinek összhossza \(\displaystyle 59\), felszíne pedig \(\displaystyle 48 \sqrt6 +25 \sqrt3(=\approx160,8768)\).


Statisztika:

A C. 1559. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. szeptemberi matematika feladatai