Problem C. 1560. (October 2019)

C. 1560. Six classes of a school are planning to take trips to the towns of Pécs, Szeged, Debrecen or Miskolc. (Each class is to visit a single town.) Each town must be visited by at least one class. In how many different ways may they select the trip destinations?

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel minden városba megy legalább egy osztály, így 2 lehetőség van:

1. eset: egy városba 3 osztály megy, a másik három városba 1-1
Ekkor \(\displaystyle \binom{6}{3}\)-féleképpen választhatjuk ki, hogy melyik 3 osztály látogatja ugyanazt az egy várost. Ez a város 4-féle lehet, és a maradék 3 osztály a maradék 3 városba \(\displaystyle 3!\)-féleképpen mehet. Azaz ekkor a lehetőségek száma az úticél választásra:

\(\displaystyle \binom{6}{3} \cdot 4 \cdot 3!=480.\)

2. eset: két városba 2-2 osztály megy, két városba 1-1
Ekkor \(\displaystyle \binom{6}{2}\)-féleképpen tudunk kiválasztani 2 osztályt, akik ugyanoda mennek, hogy melyik városba azt pedig 4-féleképpen. Ezután \(\displaystyle \binom{4}{2}\)-féleképpen választhatjuk ki a másik két osztályt, akik ugyanazt a várost látogatják, és 3 lehetőség van arra, hogy melyiket. Amikor a 2-2 ugyanoda kiránduló osztályt kiválasztjuk, akkor kétszer számolunk minden esetet, így 2-vel osztani kell. Végül a maradék 2 osztály a maradék két városba \(\displaystyle 2!\)-féleképpen mehet. Azaz

\(\displaystyle \binom{6}{2} \cdot 4 \cdot \binom{4}{2} \cdot 3 \cdot\frac12 \cdot 2! =1080\)

a lehetőségek száma ebben az esetben.

Így összesen 1560-féleképpen választhatnak úticélt.

Statistics:

237 students sent a solution.
5 points:	86 students.
4 points:	38 students.
3 points:	11 students.
2 points:	26 students.
1 point:	57 students.
0 point:	18 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019