Problem C. 1562. (October 2019)

C. 1562. Prove that if \(\displaystyle n^2+1\) is divisible by 5 for some integer \(\displaystyle n\), then one of the numbers \(\displaystyle {(n-1)}^2+1\) and \(\displaystyle {(n+1)}^2+1\) is also divisible by 5.

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy négyzetszám 5-tel való osztási maradéka lehet 0, 1 vagy 4. Mivel \(\displaystyle 5|n^2+1\), ezért \(\displaystyle n^2\)-nek 4 az 5-ös maradéka. Ezért az \(\displaystyle n\) szám 5-tel osztva 2 vagy 3 maradékot ad. (Ugyanis \(\displaystyle 0\) maradékot adó szám négyzete szintén 0 maradékot ad, 1 vagy 4 maradékot adó szám négyzete pedig 1 maradékot ad.)

1. eset: az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 2
Ekkor az \(\displaystyle n+1\) szám 5-tel osztva 3 maradékot ad, \(\displaystyle (n+1)^2\) pedig 4-et, azaz \(\displaystyle 5|(n+1)^2+1\).

2. eset: az \(\displaystyle n\) szám 5-ös maradéka 3
Ekkor az \(\displaystyle n-1\) szám 5-tel osztva 2 maradékot ad, \(\displaystyle (n-1)^2\) pedig 4-et, azaz \(\displaystyle 5|(n-1)^2+1\).

Tehát megmutattuk, hogy ha \(\displaystyle n^2+1\) osztható 5-tel, akkor az \(\displaystyle (n-1)^2+1\) és \(\displaystyle (n+1)^2+1\) számok közül valamelyik szintén osztható 5-tel.

Statistics:

356 students sent a solution.
5 points:	109 students.
4 points:	122 students.
3 points:	71 students.
2 points:	20 students.
1 point:	12 students.
0 point:	18 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019