Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1563. (October 2019)

C. 1563. Let us consider one half of an equilateral triangle (that is, the triangle having angles \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\) and \(\displaystyle 90^\circ\)). We create two more triangles by rotating the original one by \(\displaystyle 30^\circ\), and the original one by \(\displaystyle 60^\circ\) about its right angle in both cases. Determine the area of the intersection of these 3 triangles.

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a félszabályos háromszögünk átfogója 1 egység. Ekkor a hosszabbik befogó, \(\displaystyle AC\) hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\). A feladat szövege alapján forgassuk el az \(\displaystyle ABC\) félszabályos háromszöget a derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsa körül először \(\displaystyle 30^\circ\)-kal, ekkor kapjuk az \(\displaystyle A_1B_1C\) háromszöget, majd az újbóli \(\displaystyle 30^\circ\)-kal való elforgatással kapott háromszög legyen \(\displaystyle A_2B_2C\). Itt jegyezzük meg, hogy a háromszög körüljárása nem befolyásolja a megoldást, \(\displaystyle A, B\) fordított elhelyezkedésekor ugyanígy helyezkednek el az elforgatott háromszögek egymáshoz viszonyítva (tengelyes szimmetria alapján).

Elsőként vegyük észre, hogy \(\displaystyle B_2\) rajta van az \(\displaystyle AB\) átfogón (a felezőpontja), hiszen \(\displaystyle CB=CB_2=\frac12\) és \(\displaystyle BCB_2 \angle =60^ \circ\), azaz a \(\displaystyle CBB_2\) háromszög egyenlőszárú és csúcsszöge \(\displaystyle 60^ \circ\), így az alapon fekvő szögei is \(\displaystyle 60^ \circ\)-osak, azaz \(\displaystyle CBB_2\angle= 60^ \circ\).

Használjuk az ábra jelöléseit. A keresett területet két terület különbségeként kapjuk meg: \(\displaystyle T_{CDEF}=T_{CB_2F}-T_{EDB_2}\).

Vizsgáljuk a \(\displaystyle CB_2F\) háromszöget: \(\displaystyle B_2\)-nél levő szöge \(\displaystyle 60^ \circ\) (a forgatás tulajdonságai miatt), \(\displaystyle C\)-nél levő szöge \(\displaystyle 90^\circ - 60^\circ= 30^\circ\), így \(\displaystyle F\)-nél derékszög van, tehát a háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{CB_2}{CB}=\frac12\).

Mindebből következik, hogy \(\displaystyle CF=\frac{\sqrt3}{2}\cdot CB_2=\frac{\sqrt3}{4}\). Mivel \(\displaystyle CB_2\) a \(\displaystyle CB_1\) oldal \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os elforgatottja, ezért \(\displaystyle B_1CD\angle=B_1CB_2\angle=30^{\circ}\). A \(\displaystyle CB_1D\) háromszögben továbbá \(\displaystyle CB_1D\angle=60^{\circ}\), így \(\displaystyle CDB_1\angle=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}\). Tehát az \(\displaystyle EDB_2\) háromszögben \(\displaystyle EDB_2\angle=CDB_1\angle=90^{\circ}\), \(\displaystyle DB_2E\angle=60^{\circ}\), így ez a háromszög is hasonló az eredetihez. A hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{DB_2}{BC}=\frac{CB_2-CD}{BC}=1-\frac{CF}{BC}= 1-\frac{\sqrt3/4}{1/2}=1-\tfrac{\sqrt{3}}2\).

Tehát a közös rész területének aránya az eredeti háromszög területéhez: \(\displaystyle \big(\tfrac12\big)^2-\big(1-\tfrac{\sqrt{3}}2\big)^2=\frac14-1-\frac34+\sqrt3=\sqrt3-\tfrac32\approx0,232\).


Statistics:

201 students sent a solution.
5 points:89 students.
4 points:29 students.
3 points:26 students.
2 points:11 students.
1 point:8 students.
0 point:33 students.
Unfair, not evaluated:4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019