Problem C. 1563. (October 2019)
C. 1563. Let us consider one half of an equilateral triangle (that is, the triangle having angles \(\displaystyle 30^\circ\), \(\displaystyle 60^\circ\) and \(\displaystyle 90^\circ\)). We create two more triangles by rotating the original one by \(\displaystyle 30^\circ\), and the original one by \(\displaystyle 60^\circ\) about its right angle in both cases. Determine the area of the intersection of these 3 triangles.
(5 pont)
Deadline expired on November 11, 2019.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a félszabályos háromszögünk átfogója 1 egység. Ekkor a hosszabbik befogó, \(\displaystyle AC\) hossza \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\). A feladat szövege alapján forgassuk el az \(\displaystyle ABC\) félszabályos háromszöget a derékszögű \(\displaystyle C\) csúcsa körül először \(\displaystyle 30^\circ\)-kal, ekkor kapjuk az \(\displaystyle A_1B_1C\) háromszöget, majd az újbóli \(\displaystyle 30^\circ\)-kal való elforgatással kapott háromszög legyen \(\displaystyle A_2B_2C\). Itt jegyezzük meg, hogy a háromszög körüljárása nem befolyásolja a megoldást, \(\displaystyle A, B\) fordított elhelyezkedésekor ugyanígy helyezkednek el az elforgatott háromszögek egymáshoz viszonyítva (tengelyes szimmetria alapján).
Elsőként vegyük észre, hogy \(\displaystyle B_2\) rajta van az \(\displaystyle AB\) átfogón (a felezőpontja), hiszen \(\displaystyle CB=CB_2=\frac12\) és \(\displaystyle BCB_2 \angle =60^ \circ\), azaz a \(\displaystyle CBB_2\) háromszög egyenlőszárú és csúcsszöge \(\displaystyle 60^ \circ\), így az alapon fekvő szögei is \(\displaystyle 60^ \circ\)-osak, azaz \(\displaystyle CBB_2\angle= 60^ \circ\).
Használjuk az ábra jelöléseit. A keresett területet két terület különbségeként kapjuk meg: \(\displaystyle T_{CDEF}=T_{CB_2F}-T_{EDB_2}\).
Vizsgáljuk a \(\displaystyle CB_2F\) háromszöget: \(\displaystyle B_2\)-nél levő szöge \(\displaystyle 60^ \circ\) (a forgatás tulajdonságai miatt), \(\displaystyle C\)-nél levő szöge \(\displaystyle 90^\circ - 60^\circ= 30^\circ\), így \(\displaystyle F\)-nél derékszög van, tehát a háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{CB_2}{CB}=\frac12\).
Mindebből következik, hogy \(\displaystyle CF=\frac{\sqrt3}{2}\cdot CB_2=\frac{\sqrt3}{4}\). Mivel \(\displaystyle CB_2\) a \(\displaystyle CB_1\) oldal \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os elforgatottja, ezért \(\displaystyle B_1CD\angle=B_1CB_2\angle=30^{\circ}\). A \(\displaystyle CB_1D\) háromszögben továbbá \(\displaystyle CB_1D\angle=60^{\circ}\), így \(\displaystyle CDB_1\angle=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}\). Tehát az \(\displaystyle EDB_2\) háromszögben \(\displaystyle EDB_2\angle=CDB_1\angle=90^{\circ}\), \(\displaystyle DB_2E\angle=60^{\circ}\), így ez a háromszög is hasonló az eredetihez. A hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{DB_2}{BC}=\frac{CB_2-CD}{BC}=1-\frac{CF}{BC}= 1-\frac{\sqrt3/4}{1/2}=1-\tfrac{\sqrt{3}}2\).
Tehát a közös rész területének aránya az eredeti háromszög területéhez: \(\displaystyle \big(\tfrac12\big)^2-\big(1-\tfrac{\sqrt{3}}2\big)^2=\frac14-1-\frac34+\sqrt3=\sqrt3-\tfrac32\approx0,232\).
Statistics:
201 students sent a solution. 5 points: 89 students. 4 points: 29 students. 3 points: 26 students. 2 points: 11 students. 1 point: 8 students. 0 point: 33 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019