Problem C. 1564. (October 2019)

C. 1564. A \(\displaystyle 6 \times 6\) square grid is divided into \(\displaystyle n\) rectangles of different areas by cutting along grid lines. Give an example of such a dissection for every possible \(\displaystyle n>1\).

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először vegyük észre, hogy 8 darabnál több téglalapra nem bonthattuk fel. Mivel minden téglalapnak különböző területűnek kellene lennie, így a területük összege legalább az első \(\displaystyle n\) pozitív egész szám összege lenne, és ez már \(\displaystyle n=9\)-re is több, mint 36. Most nézzük meg, hogy 8-ra fel tudjuk-e bontani: a számok összege 1-től 8-ig éppen 36, azaz csak úgy lenne lehetséges, ha a téglalapok területe éppen \(\displaystyle 1,2, \dots, 8\) lenne. Azonban a 7 prím, azaz 7 területű téglalap csak 1 és 7 oldalhosszakkal fordulhat elő, ami ,,nem fér bele'' egy \(\displaystyle 6\times 6\)-os négyzetbe. Így ez sem lehetséges.

Másrészről pedig, \(\displaystyle 2,3, \dots, 7\) darab különböző területű téglalapra már felbontható. Az ábrán egy-egy példa látható jó felbontásra:

Statistics:

273 students sent a solution.
5 points:	212 students.
4 points:	14 students.
3 points:	20 students.
2 points:	12 students.
1 point:	2 students.
0 point:	13 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019