Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1565. feladat (2019. október)

C. 1565. Egy trapéz oldalai (valamilyen sorrendben) \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), illetve \(\displaystyle 6\) egység hosszúak. Adjuk meg a területének lehető legnagyobb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy a terület lehető legnagyobb értéke 12. Ennyi lehet, tekintsük a következő esetet:

Vegyünk egy derékszögű trapézt, aminek két alapja 2 és 6 egység, derékszögeknél levő szára pedig 3. Ekkor a magassága is 3. Alkalmazva a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle EBC\) háromszögre (az ábra jelöléseit használva) kapjuk, hogy a másik szár 5 egység. Azaz ennek a trapéznak tényleg megfelelő hosszúságúak az oldalai és a területe \(\displaystyle \frac{(2+6)\cdot3}{2}=12\) egység.

Most vegyük észre, hogy bármely trapéz területére teljesül a következő egyenlőtlenség:

\(\displaystyle T \leq \frac{a+c}{2} \cdot \min(b,d),\)

ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) a két alap. Hiszen az alapokhoz tartozó magasság kisebb vagy egyenlő a száraknál, mert a magasság, a szár és az alap egy része által akotott derékszögű háromszögben a szár átfogó, míg a magasság befogó (ha derékszögű a trapéz, akkor a derékszögnél lévő szárnál ez a háromszög elfajuló, a magasság egyenlő az egyik szárral).

A konkrét feladatban, ha \(\displaystyle \min(b,d)=2\), akkor

\(\displaystyle T \leq a+c \leq 11.\)

Ezekben az esetekben tehát biztosan 12-nél kisebb a terület.

Ha \(\displaystyle \min(b,d)=3\), akkor az egyik alap 2. Ekkor

\(\displaystyle T \leq \frac{2+6}{2} \cdot 3=12.\)

A megoldás elején adott konstrukció mutatja, hogy 12 tényleg lehet a terület. (Itt jegyezzük meg, hogy ebben az esetben - és mint később látni fogjuk összességében is - ez az egyetlen ilyen trapéz, aminek oldalai 2, 3, 5, 6 és területe 12. Hiszen az egyik alap 2, az egyik szár 3. A másik alapnak 6-nak kell lennie, hogy 12-t kapjunk területnek, a magasságnak pedig szintén 3-nak.)

Ha \(\displaystyle \min(b,d)=5\), akkor 2, 3 a két alap és 5, 6 a két szár hossza. Ekkor korábbi becslésünk túl gyenge:

\(\displaystyle T \leq \frac{25}{2},\)

ami nagyobb, mint 12. Csakhogy ilyen alapokkal és szárakkal nem is létezik trapéz. Tegyük fel ugyanis, hogy van ilyen trapéz:

Fejezzük ki a trapéz magasságának négyzetét a Pitagorasz-tétel segítségével az \(\displaystyle AED\) és a \(\displaystyle BFC\) (esetleg elfajuló) derékszögű háromszögekben (jegyezzük meg, hogy itt előjeles szakaszokkal számolunk, ez a megoldást nem befolyásolja), legyen \(\displaystyle AE=x\) (ekkor \(\displaystyle FB=1-x\), hiszen \(\displaystyle EF=2\)):

\(\displaystyle m^2= 25- x^2=36 - (1-x)^2,\)

\(\displaystyle 2x=10, \)

\(\displaystyle x=5.\)

(Az ábrán az az eset látható, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 1-x\) is pozitív, vagyis az \(\displaystyle AB\) egyenesen a pontok sorrendje \(\displaystyle A,E,F,B\), de a többi esetben is pontosan ez a megoldás működik, csak esetleg más ábra adódik.)

Azonban \(\displaystyle x=5\) ellentmondás, hiszen \(\displaystyle m\) így 0 lenne, ez igazából elfajuló eset, egy egyenesen van a 4 csúcs.

Tehát beláttuk, hogy a trapéz területének lehető legnagyobb értéke 12.


Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Andó Lujza, Arató Zita, Bihari Petra, Biró 424 Ádám, Biró Kinga, Bódi Martin, Csizmadia Máté Zalán, Farkas Jázmin, Féger Tamás, Fekete András Albert, Győri Gréta, Hajdú Bálint, Harcsa-Pintér András, Horváth 008 László, Horváth Tamás, Iván Petra, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kalabay László, Kalmár Dóra, Kinyó Kincső, Kis 194 Károly, Majerusz Ádám, Molnár 203 Bálint, Molnár Kristóf András, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Németh Kristóf, Oláh 492 Emese, Palencsár Enikő, Pálfi Patrícia, Pásti Bence, Ráduly Nóra Julianna, Rassai Erik, Rátki Gergely, Rokonay Szonja, Schenk Anna, Schneider Anna, Sümegi Géza, Szabó 808 Álmos Levente, Szabó Barbara Noémi, Szigeti Donát, Szin Imola, Tápai Valér, Tölgyes Viktória, Trombitás Karolina Sarolta, Zaránd Andris.
4 pontot kapott:16 versenyző.
3 pontot kapott:8 versenyző.
2 pontot kapott:7 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai