Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1565. feladat (2019. október)

C. 1565. Egy trapéz oldalai (valamilyen sorrendben) \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 5\), illetve \(\displaystyle 6\) egység hosszúak. Adjuk meg a területének lehető legnagyobb értékét.

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.


Megoldás. Megmutatjuk, hogy a terület lehető legnagyobb értéke 12. Ennyi lehet, tekintsük a következő esetet:

Vegyünk egy derékszögű trapézt, aminek két alapja 2 és 6 egység, derékszögeknél levő szára pedig 3. Ekkor a magassága is 3. Alkalmazva a Pitagorasz-tételt az \(\displaystyle EBC\) háromszögre (az ábra jelöléseit használva) kapjuk, hogy a másik szár 5 egység. Azaz ennek a trapéznak tényleg megfelelő hosszúságúak az oldalai és a területe \(\displaystyle \frac{(2+6)\cdot3}{2}=12\) egység.

Most vegyük észre, hogy bármely trapéz területére teljesül a következő egyenlőtlenség:

\(\displaystyle T \leq \frac{a+c}{2} \cdot \min(b,d),\)

ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle c\) a két alap. Hiszen az alapokhoz tartozó magasság kisebb vagy egyenlő a száraknál, mert a magasság, a szár és az alap egy része által akotott derékszögű háromszögben a szár átfogó, míg a magasság befogó (ha derékszögű a trapéz, akkor a derékszögnél lévő szárnál ez a háromszög elfajuló, a magasság egyenlő az egyik szárral).

A konkrét feladatban, ha \(\displaystyle \min(b,d)=2\), akkor

\(\displaystyle T \leq a+c \leq 11.\)

Ezekben az esetekben tehát biztosan 12-nél kisebb a terület.

Ha \(\displaystyle \min(b,d)=3\), akkor az egyik alap 2. Ekkor

\(\displaystyle T \leq \frac{2+6}{2} \cdot 3=12.\)

A megoldás elején adott konstrukció mutatja, hogy 12 tényleg lehet a terület. (Itt jegyezzük meg, hogy ebben az esetben - és mint később látni fogjuk összességében is - ez az egyetlen ilyen trapéz, aminek oldalai 2, 3, 5, 6 és területe 12. Hiszen az egyik alap 2, az egyik szár 3. A másik alapnak 6-nak kell lennie, hogy 12-t kapjunk területnek, a magasságnak pedig szintén 3-nak.)

Ha \(\displaystyle \min(b,d)=5\), akkor 2, 3 a két alap és 5, 6 a két szár hossza. Ekkor korábbi becslésünk túl gyenge:

\(\displaystyle T \leq \frac{25}{2},\)

ami nagyobb, mint 12. Csakhogy ilyen alapokkal és szárakkal nem is létezik trapéz. Tegyük fel ugyanis, hogy van ilyen trapéz:

Fejezzük ki a trapéz magasságának négyzetét a Pitagorasz-tétel segítségével az \(\displaystyle AED\) és a \(\displaystyle BFC\) (esetleg elfajuló) derékszögű háromszögekben (jegyezzük meg, hogy itt előjeles szakaszokkal számolunk, ez a megoldást nem befolyásolja), legyen \(\displaystyle AE=x\) (ekkor \(\displaystyle FB=1-x\), hiszen \(\displaystyle EF=2\)):

\(\displaystyle m^2= 25- x^2=36 - (1-x)^2,\)

\(\displaystyle 2x=10, \)

\(\displaystyle x=5.\)

(Az ábrán az az eset látható, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle 1-x\) is pozitív, vagyis az \(\displaystyle AB\) egyenesen a pontok sorrendje \(\displaystyle A,E,F,B\), de a többi esetben is pontosan ez a megoldás működik, csak esetleg más ábra adódik.)

Azonban \(\displaystyle x=5\) ellentmondás, hiszen \(\displaystyle m\) így 0 lenne, ez igazából elfajuló eset, egy egyenesen van a 4 csúcs.

Tehát beláttuk, hogy a trapéz területének lehető legnagyobb értéke 12.


Statisztika:

A C. 1565. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. októberi matematika feladatai