Problem C. 1566. (October 2019)

C. 1566. Assume that the probability of a newborn baby being a boy is always \(\displaystyle p\). In families with two children, is it more common to have one boy and one girl than to have two children of the same sex?

(5 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha minden gyereknél \(\displaystyle p\) valószínűséggel születik fiú, akkor \(\displaystyle (1-p)\)-vel lány. Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy kétgyermekes családban különböző neműek a gyerekek \(\displaystyle 2 \cdot p \cdot (1-p)\), míg annak, hogy azonos neműek \(\displaystyle p \cdot p + (1-p) \cdot (1-p)\). Tehát az a kérdés, hogy igaz-e (illetve hogy mikor igaz), hogy

\(\displaystyle 2 \cdot p \cdot (1-p)> p \cdot p + (1-p) \cdot (1-p),\)

ahol \(\displaystyle 0 \leq p \leq 1\). Átrendezve

\(\displaystyle 0> 4p^2 -4p+1,\)

\(\displaystyle 0> (2p-1)^2.\)

Ez pedig nem igaz (semmilyen \(\displaystyle p\)-re), hiszen a jobb oldalon egy teljes négyzet áll, ami nagyobb vagy egyenlő, mint 0.

Azaz (\(\displaystyle p\) semmilyen értéke mellett) nem gyakoribb, hogy a testvérek különböző neműek, mint az, hogy azonosak.

Statistics:

109 students sent a solution.
5 points:	Amamou Martin, Andó Lujza, Arató Zita, Babolcsay Barbara, Baki Bence István, Biró 424 Ádám, Csizy Gergő , Féger Tamás, Gál András, Gál Bence, Glavosits Villő, Gömbös Imola, Hajdú Bálint, Hegedűs András , Heller-Szabó Anna, Hoppál Zoltán, Horváth 127 Ádám, Iván Petra, Keszte Márton, Kis 194 Károly, Kiss 420 Bálint, Kovács Bence, Lakatos Enikő, Ludányi Levente, Majerusz Ádám, Meskó Gabriella Eszter , Molnár Réka, Molnár Richárd, Nagy 009 Dávid, Nagy 129 Eszter, Oláh 492 Emese, Palencsár Enikő, Ráduly Nóra Julianna, Rassai Erik, Rosta Benjamin, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Szabó 981 Dominik Tamás, Szabó Sára, Szarkowicz Dániel, Szigeti Donát, Viharos Márta Judit.
4 points:	20 students.
3 points:	15 students.
2 points:	12 students.
1 point:	13 students.
0 point:	7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2019