Problem C. 1567. (November 2019)

C. 1567. Find the real solutions of the equation

\(\displaystyle 2x^2-4xy+4y^2-8x+16=0. \)

Proposed by M. Szalai, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először írjuk fel a bal oldalt mint két teljes négyzet összege, ekkor az egyenletünk a következőképpen néz ki:

\(\displaystyle (x-4)^2+(x-2y)^2=0.\)

Bármely valós szám négyzete nemnegatív, így a bal oldalon két nemnegatív szám összege áll, ami csak úgy lehet 0, ha mindkét tag 0. Azaz \(\displaystyle x-4=0\) és \(\displaystyle x-2y=0\). Az elsőből kapjuk, hogy \(\displaystyle x=4\), ezt a második egyenlőségbe behelyettesítve adódik, hogy \(\displaystyle y=2\). Ezeket az értékeket a kiindulási egyenletbe visszahelyettesítve egyenlőséget kapunk.

Tehát az \(\displaystyle x=4\) és \(\displaystyle y=2\) számpár a megoldása az egyenletnek.

Statistics:

229 students sent a solution.
5 points:	177 students.
4 points:	25 students.
3 points:	4 students.
2 points:	7 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019