Problem C. 1568. (November 2019)

C. 1568. Let \(\displaystyle D\) be the midpoint of side \(\displaystyle AB\) of a triangle \(\displaystyle ABC\), \(\displaystyle E\) the midpoint of side \(\displaystyle AC\), and \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) the centres of the circumscribed circles of triangles \(\displaystyle DEB\) and \(\displaystyle DEC\), respectively (assume that \(\displaystyle P\ne Q\)). Prove that line \(\displaystyle PQ\) is perpendicular to line \(\displaystyle BC\).

Proposed by D. Hegedűs, Gyöngyös

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bármely háromszög körülírható körének középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. Emiatt \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) is rajta van \(\displaystyle ED\) oldalfelező merőlegesén. Mivel \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) különböző pontok, és két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest, így a \(\displaystyle PQ\) egyenes nem más, mint \(\displaystyle ED\) oldalfelező merőlegese, azaz \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle ED\)-re.

Másrészt \(\displaystyle ED\) középvonal az \(\displaystyle ABC\) háromszögben, hiszen \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle D\) oldalfelező pontok. A középvonal tulajdonságai szerint \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel.

Azaz kaptuk, hogy \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle ED\)-re, \(\displaystyle ED\) párhuzamos \(\displaystyle BC\)-vel, így \(\displaystyle PQ\) merőleges \(\displaystyle BC\)-re is.

Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:	104 students.
4 points:	27 students.
3 points:	4 students.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019