A C. 1569. feladat (2019. november)

C. 1569. Egy 24 fős osztályban páratlan sok gyereket hívnak Zsófiának. Tudjuk, hogy közülük aki a névsorban legelöl van, az annyiadik a névsorban, ahány Zsófia van, aki pedig a harmadik, annak a sorszáma háromszor ennyi. Tudjuk továbbá, hogy a névsorban minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófia van. Határozzuk meg, hogy az osztálynévsor hányadik helyein szerepelnek Zsófiák.

Hommer László (Kemence) feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) azt, hogy hány Zsófia van az osztályban. Tudjuk, hogy \(\displaystyle n\) páratlan, hogy a névsorban legelöl levő Zsófia az \(\displaystyle n.\) a névsorban, és hogy a harmadik helyen lévő Zsófia pedig a \(\displaystyle 3n.\) helyen van. Ebből rögtön adódik, hogy \(\displaystyle 3n \leq 24\), azaz \(\displaystyle n \leq 8\). Így 3, 5 vagy 7 Zsófia lehet az osztályban (\(\displaystyle n\geq3\), hiszen van harmadik Zsófia a feladat szövege szerint).

1. eset \(\displaystyle n=3\)

Ekkor a névsorban a 3. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 9. (ő a harmadik) is. Továbbá a feladat szövege alapján minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófiának kell állnia. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, kellene lennie még legalább két Zsófiának. Így három Zsófia nem lehet.

2. eset \(\displaystyle n=5\)

Ekkor a névsorban az 5. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 15. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 6. gyereknek is Zsófiának kell lennie és így a 16.-nak is (mert a 15. Zsófia a harmadik a sorban, így a mellette lévő nem lehet már előtte). Még egy Zsófia maradt, aki ha a 17. a névsorban, akkor minden feltétel teljesül. Tehát ez az eset lehetséges. A Zsófiák a következő helyen szerepelnek a névsorban: 5., 6., 15., 16. és 17.

3. eset \(\displaystyle n=7\)

Ekkor a névsorban az 7. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 21. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 8. gyereknek is Zsófiának kell lennie és a 22.-nek is. Maradt még 3 Zsófia, akiknek muszáj a 22. hely után elhelyezkedniük (hiszen a 7. és a 21. hely között csak egy Zsófia lehet), viszont ott már csak 2 hely maradt. Így ez az eset sem lehetséges.

Tehát 5 Zsófia van az osztályban, akik a névsorban 5., 6., 15., 16. és 17. helyeken szerepelnek.

Statisztika:

351 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	262 versenyző.
4 pontot kapott:	44 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai