Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1569. (November 2019)

C. 1569. In a class of 24, there are an odd number of students whose first name is Sophia. When the class is listed in alphabetical order (of family names) and students are numbered in this order, the number of the first Sophia on the list is equal to the number of Sophias in the class, and the number of the third Sophia on the list is three times the number of Sophias in the class. Given that each Sophia on the list is immediately preceded or followed by another Sophia, determine the numbers assigned to all the Sophias on the list.

Based on a problem by L. Hommer, Kemence

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) azt, hogy hány Zsófia van az osztályban. Tudjuk, hogy \(\displaystyle n\) páratlan, hogy a névsorban legelöl levő Zsófia az \(\displaystyle n.\) a névsorban, és hogy a harmadik helyen lévő Zsófia pedig a \(\displaystyle 3n.\) helyen van. Ebből rögtön adódik, hogy \(\displaystyle 3n \leq 24\), azaz \(\displaystyle n \leq 8\). Így 3, 5 vagy 7 Zsófia lehet az osztályban (\(\displaystyle n\geq3\), hiszen van harmadik Zsófia a feladat szövege szerint).

1. eset \(\displaystyle n=3\)

Ekkor a névsorban a 3. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 9. (ő a harmadik) is. Továbbá a feladat szövege alapján minden Zsófia előtt vagy után szintén Zsófiának kell állnia. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, kellene lennie még legalább két Zsófiának. Így három Zsófia nem lehet.

2. eset \(\displaystyle n=5\)

Ekkor a névsorban az 5. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 15. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 6. gyereknek is Zsófiának kell lennie és így a 16.-nak is (mert a 15. Zsófia a harmadik a sorban, így a mellette lévő nem lehet már előtte). Még egy Zsófia maradt, aki ha a 17. a névsorban, akkor minden feltétel teljesül. Tehát ez az eset lehetséges. A Zsófiák a következő helyen szerepelnek a névsorban: 5., 6., 15., 16. és 17.

3. eset \(\displaystyle n=7\)

Ekkor a névsorban az 7. gyerek Zsófia (ő az első Zsófia) és a 21. (ő a harmadik) is. A feltételek miatt a 8. gyereknek is Zsófiának kell lennie és a 22.-nek is. Maradt még 3 Zsófia, akiknek muszáj a 22. hely után elhelyezkedniük (hiszen a 7. és a 21. hely között csak egy Zsófia lehet), viszont ott már csak 2 hely maradt. Így ez az eset sem lehetséges.

Tehát 5 Zsófia van az osztályban, akik a névsorban 5., 6., 15., 16. és 17. helyeken szerepelnek.


Statistics:

351 students sent a solution.
5 points:262 students.
4 points:44 students.
3 points:19 students.
2 points:10 students.
1 point:11 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:2 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019