Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1570. feladat (2019. november)

C. 1570. Egy hatszög minden szöge \(\displaystyle 120^{\circ}\), szemközti csúcsait összekötő átlói egyenlő hosszúak. Igazoljuk, hogy a hatszög forgásszimmetrikus.

Javasolta: Fried Katalin (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Egészítsük ki a hatszögünket egy háromszöggé minden második oldalának a meghosszabbításával az ábrán látható módon, és használjuk mostantól az ábra jelöléseit. Ez a háromszög szabályos, hiszen minden szöge \(\displaystyle 60^\circ\), mert a hatszögnek minden szöge \(\displaystyle 120^\circ\). Legyen 1 az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalhossza, \(\displaystyle d\) a hatszög feladatban szereplő átlóinak a hossza.

Ha \(\displaystyle x=y=z\), akkor a feladat feltételei teljesülnek, és a hatszög forgásszimmetrikus (\(\displaystyle 120^\circ\)-os, középpontja az \(\displaystyle ABC\) háromszög középpontja).

Most megmutatjuk, hogy a feladat feltéleinek eleget tevő hatszögre \(\displaystyle x=y=z\).

1. módszer. Az \(\displaystyle STVW\) trapéz átlói egyenlők, így a trapéz szimmetrikus. Ekkor pedig a két alap felező merőlegese egybeesik. Mivel a \(\displaystyle WV\) szakasz felező merőlegese átmegy az \(\displaystyle AB\) oldal felezőpontján, ezért ez a felezőpont egyben az \(\displaystyle ST\) szakasz felezőpontja. Tehát az \(\displaystyle S\) és a \(\displaystyle T\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontjára szimmetrikusan helyezkednek el, amiből következik, hogy \(\displaystyle x=y\).

A \(\displaystyle VRSU\) trapézból kiindulva hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy \(\displaystyle y=z\).

Tehát \(\displaystyle x=y=z\), a hatszög forgásszimmetrikus.

2. módszer. Jegyezzük meg, hogy \(\displaystyle x+y, y+z, x+z <1\), valamint legyen \(\displaystyle 1-x=:X, 1-y=:Y, 1-z=:Z\). Írjuk fel a koszinusztételt az \(\displaystyle SBV\), majd az \(\displaystyle ATW\) háromszögre:

\(\displaystyle X^2+Z^2-2XZ\cos60^\circ=d^2,\)

\(\displaystyle Y^2+Z^2-2YZ\cos60^\circ=d^2.\)

Tehát

\(\displaystyle X^2+Z^2-XZ=d^2,\)

\(\displaystyle Y^2+Z^2-YZ=d^2.\)

Ebből a két egyenlet bal oldalai egyenlők:

\(\displaystyle X^2+Z^2-XZ=Y^2+Z^2-YZ,\)

amit átalakítva és nullára rendezve kapjuk, hogy

\(\displaystyle (X-Y)(X+Y-Z)=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz

vagy \(\displaystyle X-Y=0\), amiből \(\displaystyle X=Y\)

vagy \(\displaystyle X+Y-Z=0\), amiből \(\displaystyle 1-x+1-y=1-z\), azaz \(\displaystyle 1=x+y-z\), de ez nem lehetséges, mert \(\displaystyle x+y-z<1-z<1\).

Hasonlóan belátható, hogy \(\displaystyle X=Z\) is teljesül, azaz kaptuk, hogy \(\displaystyle X=Y=Z\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle x=y=z\).

Tehát beláttuk, hogy az összes feladat feltételeinek eleget tevő hatszögre \(\displaystyle x=y=z\), vagyis a hatszög forgásszimmetrikus.


Statisztika:

A C. 1570. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai