Problem C. 1571. (November 2019)

C. 1571. The positive integers from 1 to \(\displaystyle n^2\) are written in increasing order in an \(\displaystyle n\times n\) table: the numbers 1 to \(\displaystyle n\) are entered in the first row, (\(\displaystyle n+1\)) to \(\displaystyle 2n\) in the second row; and so on. Prove that the sum of the numbers in one diagonal equals the sum of the numbers in the other diagonal.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Számoljuk ki az átlókban szereplő számok összegét, kezdjük a főátlóval. Itt az \(\displaystyle 1, n+2, 2n+3, \dots, n^2 \) számok szerepelnek, hiszen itt két egymást követő szám különbsége \(\displaystyle n+1\). Ezek összege:

\(\displaystyle 1+(n+2)+(2n+3)+\dots+n^2.\)

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy a főátlóban a számok összege

\(\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}=\frac{n^3+n}{2}.\)

Most térjünk rá a másik átlóra, itt az \(\displaystyle n, 2n-1, 3n-2, \dots, (n-1)\cdot n+1\) számok állnak, hiszen itt két egymást követő szám különbsége \(\displaystyle n-1\). Ezek összege:

\(\displaystyle n+(2n-1)+(3n-2)+ \dots + (n^2-(n-1)).\)

Erre alkalmazva a számtani sorozat összegére vonatkozó összegképletet kapjuk, hogy itt a számok összege

\(\displaystyle \frac{(n^2+1)\cdot n}{2}= \frac{n^3+n}{2}.\)

Tehát a két átlóban ugyanannyi a számok összege: \(\displaystyle \frac{n^3+n}{2}\).

Statistics:

239 students sent a solution.
5 points:	115 students.
4 points:	70 students.
3 points:	19 students.
2 points:	15 students.
1 point:	9 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019