Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1573. feladat (2019. november)

C. 1573. Mutassuk meg, hogy a

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n} \)

összeg osztható \(\displaystyle 23\)-mal minden pozitív egész \(\displaystyle n\) szám esetén.

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először írjuk fel az összeget kicsit más alakban:

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+27^n+16^{2n-1}-4^{n}-11^{2n}.\)

Most az összeg tagjaiból kialakítunk három párt úgy, hogy minden pár osztható legyen 23-mal.

1. \(\displaystyle 27^n\) és \(\displaystyle -4^n\)

\(\displaystyle 27^n-4^n=(27-4)(27^{n-1}+27^{n-2}+\cdot4\dots+27\cdot4^{n-2}+4^{n-1})\), vagyis \(\displaystyle 23\mid 27^n-4^n\).

2. \(\displaystyle 12^{2n}\) és \(\displaystyle -11^{2n}\)

\(\displaystyle 12^{2n}-11^{2n}=(12+11)(12^{2n-1}-12^{2n-2}\cdot11+\dots\pm\dots-11^{2n-1})\), amiből \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}-11^{2n}\).

3. \(\displaystyle 7^{2n-1}\) és \(\displaystyle 16^{2n-1}\)

\(\displaystyle 7^{2n-1}+16^{2n-1}= (7+16)(7^{2n-2}-7^{2n-2}\cdot 16+ \dots\pm\dots+16^{2n-2})\) alapján \(\displaystyle 23\mid 7^{2n-1}+16^{2n-1}\).

Ha összeadunk három 23-mal osztható összeget, akkor az eredmény is osztható lesz 23-mal, így \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n}\).


Statisztika:

A C. 1573. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. novemberi matematika feladatai