Problem C. 1573. (November 2019)

C. 1573. Show that the sum

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n} \)

is divisible by \(\displaystyle 23\) for all positive integers \(\displaystyle n\).

Proposed by T. Imre, Marosvásárhely

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először írjuk fel az összeget kicsit más alakban:

\(\displaystyle 12^{2n}+7^{2n-1}+27^n+16^{2n-1}-4^{n}-11^{2n}.\)

Most az összeg tagjaiból kialakítunk három párt úgy, hogy minden pár osztható legyen 23-mal.

1. \(\displaystyle 27^n\) és \(\displaystyle -4^n\)

\(\displaystyle 27^n-4^n=(27-4)(27^{n-1}+27^{n-2}+\cdot4\dots+27\cdot4^{n-2}+4^{n-1})\), vagyis \(\displaystyle 23\mid 27^n-4^n\).

2. \(\displaystyle 12^{2n}\) és \(\displaystyle -11^{2n}\)

\(\displaystyle 12^{2n}-11^{2n}=(12+11)(12^{2n-1}-12^{2n-2}\cdot11+\dots\pm\dots-11^{2n-1})\), amiből \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}-11^{2n}\).

3. \(\displaystyle 7^{2n-1}\) és \(\displaystyle 16^{2n-1}\)

\(\displaystyle 7^{2n-1}+16^{2n-1}= (7+16)(7^{2n-2}-7^{2n-2}\cdot 16+ \dots\pm\dots+16^{2n-2})\) alapján \(\displaystyle 23\mid 7^{2n-1}+16^{2n-1}\).

Ha összeadunk három 23-mal osztható összeget, akkor az eredmény is osztható lesz 23-mal, így \(\displaystyle 23\mid 12^{2n}+7^{2n-1}+3^{3n}+4^{4n-2}-2^{2n}-11^{2n}\).

Statistics:

61 students sent a solution.
5 points:	Abóczki Richárd Noel, Ámmer Fanni, Andó Lujza, Biró 424 Ádám, Dormán Mihály Vilmos, Ézsöl András, Gál Bence, Hajdú Bálint, Horváth 127 Ádám, Kalabay László, Kelemen Anna, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Kulcsár Kevin, Ludányi Levente, Majerusz Ádám, Molnár Réka, Nagy 009 Dávid, Németh Kristóf, Palencsár Enikő, Ráduly Nóra Julianna, Rékási Bence, Rokonay Szonja, Schenk Anna, Schneider Anna, Schneider Lilla, Szalontai Máté, Szanyikovách Sebő, Szarkowicz Dániel, Székelyhidi Klára, Szigeti Donát, Teleki Sándor, Trombitás Karolina Sarolta, Varga Zita.
4 points:	Arató Zita, Bihari Petra, Fekete András Albert, Hegedűs András , Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Ladányi Dániel, Nagy Zétény, Rassai Erik, Rátki Gergely, Szeibel Richard, Viharos Márta Judit, Windisch András.
3 points:	4 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2019