Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1574. feladat (2019. december)

C. 1574. Az ábrán látható metszéspontokra ráírtunk minden egész számot \(\displaystyle 0\)-tól \(\displaystyle 10\)-ig. Ezt követően minden kis háromszögbe beírjuk a csúcsain található számok összegét. Mekkora az így kapott \(\displaystyle 14\) szám összegének lehető legnagyobb, illetve legkisebb értéke?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először nézzük meg, hogy egy-egy metszéspont hány háromszögnek a csúcsa, azaz hány háromszöghöz tartozó összegben fog szerepelni. Ez alapján 5-féle metszéspont található az ábrán:

  • 6 háromszögnek csúcsa: 1 db,
  • 5 háromszögnek csúcsa: 2 db,
  • 4 háromszögnek csúcsa: 4 db,
  • 3 háromszögnek csúcsa: 2 db,
  • 2 háromszögnek csúcsa: 2 db.

Ahhoz, hogy a 14 háromszögben szereplő szám összege a lehető legnagyobb legyen, a fenti felsorolást nézve csökkenő sorrendben kell beírnunk a számokat a metszéspontokra: A legnagyobb szám, azaz a 10, kerüljön arra a metszéspontra, ami a legtöbb, vagyis hat összegben szerepel, a 9 és a 8 arra, ami ötben, stb. Ekkor a 14 háromszögben szereplő számok összegét ki lehet úgy számolni, hogy a metszéspontokon szerepelő számokat adjuk össze úgy, hogy mindegyiket annyiszor vesszük, ahány háromszögnek csúcsa:

\(\displaystyle 6 \cdot 10 + 5 \cdot (9+8) + 4 \cdot (7+6+5+4) + 3 \cdot (3+2)+ 2 \cdot (1+0)=250.\)

A lehető legkisebb összeget pedig pont olyankor kapjuk, amikor a fenti felsorolást tekintve a számokat növekvő sorrendben írjuk fel a metszéspontokra úgy, hogy a legkisebb szám, a 0, kerüljön arra a metszéspontra, ami a legtöbb, vagyis hat háromszögnek csúcsa, az 1 és a 2 arra, ami ötnek stb. Ekkor az összeg ilyen alakban is felírható:

\(\displaystyle 6 \cdot 0 + 5 \cdot (1+2) + 4 \cdot (3+4+5+6) + 3 \cdot (7+8)+2 \cdot (9+10)= 170.\)

Tehát a 14 háromszögben szereplő szám lehető legnagyobb összege 250, lehető legkisebb pedig 170.


Statisztika:

A C. 1574. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai