Problem C. 1574. (December 2019)
C. 1574. The points marked in the figure are labelled with the integers \(\displaystyle 0\) to \(\displaystyle 10\). Then the sum of the numbers on the vertices is written in each triangular region. What are the largest and the smallest possible values of the sum of the 14 numbers obtained in this way?
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először nézzük meg, hogy egy-egy metszéspont hány háromszögnek a csúcsa, azaz hány háromszöghöz tartozó összegben fog szerepelni. Ez alapján 5-féle metszéspont található az ábrán:
- 6 háromszögnek csúcsa: 1 db,
- 5 háromszögnek csúcsa: 2 db,
- 4 háromszögnek csúcsa: 4 db,
- 3 háromszögnek csúcsa: 2 db,
- 2 háromszögnek csúcsa: 2 db.
Ahhoz, hogy a 14 háromszögben szereplő szám összege a lehető legnagyobb legyen, a fenti felsorolást nézve csökkenő sorrendben kell beírnunk a számokat a metszéspontokra: A legnagyobb szám, azaz a 10, kerüljön arra a metszéspontra, ami a legtöbb, vagyis hat összegben szerepel, a 9 és a 8 arra, ami ötben, stb. Ekkor a 14 háromszögben szereplő számok összegét ki lehet úgy számolni, hogy a metszéspontokon szerepelő számokat adjuk össze úgy, hogy mindegyiket annyiszor vesszük, ahány háromszögnek csúcsa:
\(\displaystyle 6 \cdot 10 + 5 \cdot (9+8) + 4 \cdot (7+6+5+4) + 3 \cdot (3+2)+ 2 \cdot (1+0)=250.\)
A lehető legkisebb összeget pedig pont olyankor kapjuk, amikor a fenti felsorolást tekintve a számokat növekvő sorrendben írjuk fel a metszéspontokra úgy, hogy a legkisebb szám, a 0, kerüljön arra a metszéspontra, ami a legtöbb, vagyis hat háromszögnek csúcsa, az 1 és a 2 arra, ami ötnek stb. Ekkor az összeg ilyen alakban is felírható:
\(\displaystyle 6 \cdot 0 + 5 \cdot (1+2) + 4 \cdot (3+4+5+6) + 3 \cdot (7+8)+2 \cdot (9+10)= 170.\)
Tehát a 14 háromszögben szereplő szám lehető legnagyobb összege 250, lehető legkisebb pedig 170.
Statistics:
208 students sent a solution. 5 points: 127 students. 4 points: 36 students. 3 points: 26 students. 2 points: 12 students. 1 point: 3 students. 0 point: 3 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019