Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1575. feladat (2019. december)

C. 1575. Határozzuk meg az összes olyan, \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) pozitív prímekből álló számpárt, amelyre \(\displaystyle 2pq+2p-q=q^2-8\).

Javasolta: Imre Tamás (Marosvásárhely)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először rendezzük át, majd alakítsuk szorzattá az egyenletünket:

\(\displaystyle (q+1)(q-2p)=8.\)

Mivel \(\displaystyle q\) egy pozitív prím (vagyis \(\displaystyle q\geq2\)) és \(\displaystyle q+1\) osztója a 8-nak, így \(\displaystyle q+1\) lehetséges értékei 4 és 8.

1. eset: \(\displaystyle q+1=4\)

Ekkor \(\displaystyle q=3\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= \frac{1}{2}\), ami nem prím, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset: \(\displaystyle q+1=8\)

Ekkor \(\displaystyle q=7\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= 3\). Ez megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen 3 és 7 pozitív prímek és kielegítik az egyenletet.

Azaz \(\displaystyle p=3,q=7\) számpár a(z egyetlen) megoldás.


Statisztika:

A C. 1575. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai