Problem C. 1575. (December 2019)

C. 1575. Find all pairs of positive primes \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) for which \(\displaystyle 2pq+2p-q=q^2-8\).

Proposed by T. Imre, Marosvásárhely

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először rendezzük át, majd alakítsuk szorzattá az egyenletünket:

\(\displaystyle (q+1)(q-2p)=8.\)

Mivel \(\displaystyle q\) egy pozitív prím (vagyis \(\displaystyle q\geq2\)) és \(\displaystyle q+1\) osztója a 8-nak, így \(\displaystyle q+1\) lehetséges értékei 4 és 8.

1. eset: \(\displaystyle q+1=4\)

Ekkor \(\displaystyle q=3\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= \frac{1}{2}\), ami nem prím, így ebben az esetben nem kapunk megoldást.

2. eset: \(\displaystyle q+1=8\)

Ekkor \(\displaystyle q=7\), ezt visszahelyettesítve az egyenletbe kapjuk, hogy \(\displaystyle p= 3\). Ez megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen 3 és 7 pozitív prímek és kielegítik az egyenletet.

Azaz \(\displaystyle p=3,q=7\) számpár a(z egyetlen) megoldás.

Statistics:

175 students sent a solution.
5 points:	141 students.
4 points:	14 students.
3 points:	9 students.
2 points:	5 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019