Problem C. 1577. (December 2019)
C. 1577. The two and three digit numbers
\(\displaystyle \overline{ab},\;\overline{abc},\;\overline{cab} \)
(in decimal notation), in this order are three consecutive terms of an increasing, infinite arithmetic sequence. How many terms does this sequence have between 1552 and 2020?
Proposed by B. Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on January 10, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Írjuk fel a számtani sorozat három tagját helyiértékek segítségével, valamint használjuk fel, hogy három szám pontosan akkor alkot számtani sorozatot, ha a két szélső összege egyenlő a középső tag kétszeresével:
\(\displaystyle (10a+b)+(100c+10a+b)=2(100a+10b+c).\)
Bontsuk fel a zárójeleket, és rendezzük át az egyenletet:
\(\displaystyle 98c=180a+18b,\)
majd osszuk le 2-vel az egyenletet, és emeljünk ki 9-et a jobb oldalon:
\(\displaystyle 49c=9(10a+b).\)
Azt kaptuk, hogy a jobb oldal osztható 9-cel. Ekkor a bal is, és mivel 49 prímtényezős felbontásában csak a 7 szerepel, így \(\displaystyle c\)-nek kell 9-cel oszthatónak lennie. Mivel \(\displaystyle c\) egy számjegy, ez két esetben lehet: \(\displaystyle c=0\) vagy \(\displaystyle c=9\).
Ha \(\displaystyle c=0\), akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is 0, és ekkor nem növekvő a számtani sorozat (és nem is két, illetve háromjegyű számokból áll), vagyis ez nem ad megoldást.
Így \(\displaystyle c=9\), és ekkor 9-cel osztva az egyenletet kapjuk, hogy
\(\displaystyle 49=10a+b,\)
amiből az \(\displaystyle a=4\) és \(\displaystyle b=9\) megoldás adódik, hiszen \(\displaystyle a,b\) számjegyek, vagyis \(\displaystyle 49=10a+b=\overline{ab}\).
Tehát a számtani sorozat három megadott tagja: 49, 499 és 949. Így \(\displaystyle d=450\). Ebből a sorozat következő néhány tagja: \(\displaystyle 1399, 1849, 2299\). (Az ezután következő tagok mindegyike nagyobb 2020-nál, a 49 előtti tagok pedig kisebbek 49-nél és így 1552-nél is.)
Tehát a megadott számtani sorozatnak egy tagja esik 1552 és 2020 közé, éspedig az 1849.
Statistics:
175 students sent a solution. 5 points: 127 students. 4 points: 37 students. 3 points: 3 students. 2 points: 4 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019