Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1579. feladat (2019. december)

C. 1579. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle {(x-11)}^{\log_2 (x-10)}= {(x-11)}^{\log_{\frac12}(x-11)}. \)

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A logaritmus definíciója miatt \(\displaystyle x-10>0\) és \(\displaystyle x-11>0\) kell, hogy teljesüljön, azaz \(\displaystyle x>11.\) Ilyenkor mindkét oldalon egy pozitív valós szám hatványa áll, az egyenlet mindkét oldala értelmes.

1. eset: \(\displaystyle x-11=1\)
Ekkor \(\displaystyle x=12\), amit visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe látható, hogy megoldást kapunk.

2. eset: \(\displaystyle x-11 \neq 1\)
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kiindulási egyenlet pontosan akkor teljesül, ha a kitevők is egyeznek:

\(\displaystyle {\log_2 (x-10)}={\log_{\frac12}(x-11)}.\)

Térjünk át azonos alapra, azaz például a jobb oldalt írjuk át 2-es alapú logaritmussá, majd alkalmazzuk a logaritmus azonosságait. Kapjuk, hogy

\(\displaystyle \log_2 (x-10)=\log_2\left((x-11)^{-1}\right).\)

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ez pontosan akkor áll fenn, ha

\(\displaystyle x-10=(x-11)^{-1}.\)

Nullára rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik:

\(\displaystyle x^2-21x+109=0,\)

aminek két megoldása \(\displaystyle \frac{21 \pm \sqrt{5}}{2}\). Ezek közül \(\displaystyle \frac{21 - \sqrt{5}}{2}\) nem megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen kisebb \(\displaystyle 11\)-nél. A \(\displaystyle \frac{21 + \sqrt{5}}{2}\) viszont megoldás, hiszen beleesik az értelmezési tartományba és (azon belül) ekvivalens lépéseket hajtottunk végre.

Tehát két megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=12\) és \(\displaystyle x=\frac{21 + \sqrt{5}}{2}\).


Statisztika:

A C. 1579. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai