Problem C. 1579. (December 2019)

C. 1579. Find the real solutions of the equation

\(\displaystyle {(x-11)}^{\log_2 (x-10)}= {(x-11)}^{\log_{\frac12}(x-11)}. \)

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2020.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A logaritmus definíciója miatt \(\displaystyle x-10>0\) és \(\displaystyle x-11>0\) kell, hogy teljesüljön, azaz \(\displaystyle x>11.\) Ilyenkor mindkét oldalon egy pozitív valós szám hatványa áll, az egyenlet mindkét oldala értelmes.

1. eset: \(\displaystyle x-11=1\)
Ekkor \(\displaystyle x=12\), amit visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe látható, hogy megoldást kapunk.

2. eset: \(\displaystyle x-11 \neq 1\)
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt a kiindulási egyenlet pontosan akkor teljesül, ha a kitevők is egyeznek:

\(\displaystyle {\log_2 (x-10)}={\log_{\frac12}(x-11)}.\)

Térjünk át azonos alapra, azaz például a jobb oldalt írjuk át 2-es alapú logaritmussá, majd alkalmazzuk a logaritmus azonosságait. Kapjuk, hogy

\(\displaystyle \log_2 (x-10)=\log_2\left((x-11)^{-1}\right).\)

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ez pontosan akkor áll fenn, ha

\(\displaystyle x-10=(x-11)^{-1}.\)

Nullára rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik:

\(\displaystyle x^2-21x+109=0,\)

aminek két megoldása \(\displaystyle \frac{21 \pm \sqrt{5}}{2}\). Ezek közül \(\displaystyle \frac{21 - \sqrt{5}}{2}\) nem megoldása a kiindulási egyenletnek, hiszen kisebb \(\displaystyle 11\)-nél. A \(\displaystyle \frac{21 + \sqrt{5}}{2}\) viszont megoldás, hiszen beleesik az értelmezési tartományba és (azon belül) ekvivalens lépéseket hajtottunk végre.

Tehát két megoldása van az egyenletnek: \(\displaystyle x=12\) és \(\displaystyle x=\frac{21 + \sqrt{5}}{2}\).

Statistics:

87 students sent a solution.
5 points:	Ámmer Fanni, Arató Zita, Baki Bence István, Bauer Lujza, Biró 424 Ádám, Csizy Gergő , Éliás Orsolya, Gál András, Hajdú Bálint, Horváth Tamás, Izsa Regina Mária, Kadem Aziz, Kalabay László, Kim 666 Levente, Kis 194 Károly, Ludányi Levente, Nagy 009 Dávid, Nagy Vanda Orsolya, Nyári Péter Ádám, Oláh 492 Emese, Palencsár Enikő, Pásti Bence, Rékási Bence, Rosta Benjamin, Schneider Anna, Söllei Virág, Szigeti Donát.
4 points:	34 students.
3 points:	18 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2019