Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1580. feladat (2019. december)

C. 1580. Bori véletlenszerűen elhelyez 10 pénzérmét egy sorban az asztalra. Egy lépésben mindig egyszerre két szomszédos érmét fordít át a másik oldalára. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Bori nem tudja elérni, hogy valahány lépés után minden érmén a ,,fej'' legyen felül?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. január 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Először vegyük észre, hogy ugyanannyi olyan érmesorozat van, ami páratlan sok fejet tartalmaz, mint ami páros sokat, mert az érmesorozatok párba állíthatók úgy, hogy minden párban az egyik sorozat páros, a másik páratlan sok fejet tartalmaz: egy adott érmesorozat párja az az érmesorozat, ami csak a legutolsó érmében tér el tőle.

Most nézzük meg, hogy egy lépésben hogyan változhat a fejek száma: Ha egy fejet és egy írást fordítunk át, akkor nem változik; ha két fejet, akkor 2-vel csökken; ha két írást, akkor 2-vel nő. Azaz a fejek száma 0-val, 2-vel vagy \(\displaystyle -2\)-vel változhat (nőhet), így ha a kiindulási állapotban páratlan sok fej volt, akkor nem érhető el olyan állapot, hogy mind a 10 érmén fej van felül. Ha a kiindulási állapot páros sok fejet tartalmaz, akkor például balról indulva, "mohón" elérhető a csupa fej sorozat: mindig a soron következő írást mutató érmét és a sorban rákövetkező vele szomszédos érmét átfordítjuk, egészen a 9. érméig. Így az első 9 érménken már a fej lesz fölfele. Továbbá, mivel a fejek számának paritása a fordítgatás során nem változik, ezért az utolsó, 10. érmén is fej van felül, hiszen összesen páros sok fejnek kell lennie.

Azaz a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy a kiindulási állapot páros sok fejet tartalmaz. Ez a valószínűség pedig 1/2, hiszen amint láttuk párba állíthatók a páros és páratlan sok fejet tartalmazó kiindulási állapotok.

Tehát 1/2 annak a valószínűsége, hogy Bori el tudja érni, hogy minden érme a fej oldalán legyen.


Statisztika:

A C. 1580. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2019. decemberi matematika feladatai