A C. 1585. feladat (2020. január)

C. 1585. Melyek azok a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) egymástól különböző pozitív prímszámok, melyekre \(\displaystyle p-4p^2+p^3=q-4q^2+q^3\)?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle 0=q^3-p^3+4p^2-4q^2+q-p,\)

majd alakítsuk szorzattá a jobb oldalon látható kifejezést:

\(\displaystyle (q-p)[(q^2+qp+p^2)-(4p+4q)+1].\)

Osszunk le \(\displaystyle (q-p)\)-vel (megtehetjük, hiszen \(\displaystyle q-p \neq 0\), mert \(\displaystyle p,q\) különböző):

\(\displaystyle 0=q^2-4q+p^2-4p+qp+1,\)

ezt tovább alakítva

\(\displaystyle 7-qp=(q-2)^2+(p-2)^2.\)

A jobb oldalon álló összeg minden tagja nemnegatív, hiszen bármely szám négyzete nemnegatív. Mivel a bal oldalon \(\displaystyle 7-pq\) áll, ezért \(\displaystyle pq\) értéke legfeljebb 7. Tudjuk, hogy \(\displaystyle p,q\) különböző pozitív prímek. Mivel \(\displaystyle 2\cdot3=6\), de bármely más \(\displaystyle p,q\) érték esetén \(\displaystyle pq\geq2\cdot5=10>7\), ezért ebből csak két megoldás lehetséges: \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle q=3\) vagy \(\displaystyle p=3\) és \(\displaystyle q=2\). Ezeket az értékeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk, tehát ezek valóban megoldások.

Vagyis két megoldás van: \(\displaystyle p=2,q=3\) és \(\displaystyle p=3,q=2\).

Statisztika:

214 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	86 versenyző.
4 pontot kapott:	57 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	17 versenyző.
0 pontot kapott:	21 versenyző.

A KöMaL 2020. januári matematika feladatai