Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1587. feladat (2020. január)

C. 1587. Oldjuk meg az

\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}-\frac{\sqrt x}{x-2}=\frac{\sqrt x}{2x-1} \)

egyenletet a valós számok halmazán.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.


1. megoldás. A négyzetgyök értelmezése, illetve az egyenletben szereplő törtek nevezői miatt \(\displaystyle x>0\), \(\displaystyle x\neq1/2\) és \(\displaystyle x\neq2\).

Az eredeti egyenlettel ekvivalens egyenlet az

\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}=\frac{\sqrt x}{x-2}+\frac{\sqrt x}{2x-1}\)

egyenlet, amelyben a jobb oldalon kiemelhetjük a \(\displaystyle \sqrt x\) tényezőt:

\(\displaystyle (1)\)\(\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt x}=\sqrt x\cdot\left(\frac1{x-2}+\frac1{2x-1}\right).\)

Az (1) egyenletben a pozitív \(\displaystyle \sqrt x\)-szel szorozva és a jobb oldali zárójeles kifejezésben a műveleteket elvégezve, rendezés után azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle (2).\)\(\displaystyle x-1=x\cdot\frac{3\cdot(x-1)}{(x-2)\cdot(2x-1)}\)

A (2) egyenletnek megoldása az \(\displaystyle x_1=1\) szám, ez megfelel a feladat feltételeinek, és az eredeti egyenletbe való behelyettesítéskor az egyenlet mindkét oldalának értéke 1.

Ha \(\displaystyle x\neq1\), akkor a (2) egyenletet az \(\displaystyle x-1\) tényezővel osztva, a jobb oldali nevezőkkel szorozva \(\displaystyle (x-2)\cdot(2x-1)=3x\), ahonnan a műveletek elvégzése, rendezés és egyszerűsítés után az

\(\displaystyle x^2-4x+1=0\)

egyenletet kapjuk, amelynek megoldásai

\(\displaystyle x_2=2+ \sqrt3,\qquad\qquad x_3= 2- \sqrt{3}.\)

Ezek a gyökök is megfelelnek a feladat feltételeinek, és egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy kielégítik az eredeti egyenletet. A feladat megoldásai tehát az \(\displaystyle x_1=1\), \(\displaystyle x_2=2+ \sqrt3\) és az \(\displaystyle x_3= 2- \sqrt{3}\) valós számok.

2. megoldás. Mivel negyzetgyök alatt nem állhat negatív szám és a tört nevezője nem lehet nulla, így \(\displaystyle x>0\), \(\displaystyle x\neq 2\) és \(\displaystyle x \neq \frac12\).

Az egyenletet osszuk le \(\displaystyle \sqrt x\)-szel, ezt megtehetjük, hiszen a kikötésünk alapján nem 0. Kapjuk, hogy

\(\displaystyle \frac{x-1}{ x}-\frac{1}{x-2}=\frac{1}{2x-1}.\)

Most a nemnulla \(\displaystyle x(x-2)(2x-1)\) számmal való beszorzás után rendezzünk 0-ra:

\(\displaystyle (x-1)(x-2)(2x-1)-x(2x-1)-x(x-2)=0.\)

Végezzük el a szorzásokat, majd vonjuk össze a megfelelő tagokat, ekkor

\(\displaystyle 2x^3-10x^2+10x-2=0\)

adódik, ezt osszuk le 2-vel, és csoportosítsuk a tagokat:

\(\displaystyle (-5x^2+5x)+(x^3-1)=0.\)

Alakítsuk szorzattá mindkét zárójeles kifejezést

\(\displaystyle -5x(x-1)+(x-1)(x^2+x+1)=0,\)

majd emeljünk ki \(\displaystyle (x-1)\)-et:

\(\displaystyle (x-1)(x^2-4x+1)=0.\)

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, azaz \(\displaystyle x-1=0\) vagy \(\displaystyle x^2-4x+1=0\). Így vagy \(\displaystyle x=1\) vagy (a másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva) \(\displaystyle x=2 \pm \sqrt{3}\). Ezeket visszahelyettesítve a kiindulási egyenletbe egyenlőséget kapunk. (De hivatkozhatunk arra is, hogy végig ekvivalens átalakításokat hajtottunk végre, és mindegyik érték megfelel a kikötéseknek.)

Tehát az egyenletnek három megoldása van: \(\displaystyle x=1\), \(\displaystyle x=2+ \sqrt3\) és \(\displaystyle x= 2- \sqrt{3}\).


Statisztika:

A C. 1587. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. januári matematika feladatai