Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A C. 1588. feladat (2020. február)

C. 1588. Legyenek az \(\displaystyle ABCD\) négyszög \(\displaystyle AB\), illetve \(\displaystyle AD\) oldalainak \(\displaystyle A\)-hoz közelebbi harmadolópontjai \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\), a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja pedig \(\displaystyle G\). Tükrözzük a \(\displaystyle G\) pontot \(\displaystyle E\)-re, majd az így kapott tükörképet \(\displaystyle F\)-re. Igazoljuk, hogy a kapott tükörkép ráesik a négyszög valamely oldalára. Melyik oldalon van, és milyen arányban osztja azt?

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Legyen a \(\displaystyle G\) pont tükörképe az \(\displaystyle E\)-re vonatkozó tükrözés után \(\displaystyle G'\), majd ennek a pontnak az \(\displaystyle F\)-re vonatkozó tükörképe \(\displaystyle G''\) az ábrán is látható módon. Továbbá legyen \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle DC\) oldal \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle G''=H\), azaz \(\displaystyle G''\) a \(\displaystyle DC\) oldalon van, éspedig annak \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.

Először is, ismert, hogy az \(\displaystyle E\)-re, majd \(\displaystyle F\)-re vonatkozó egymás utáni középpontos tükrözés nem más mint a \(\displaystyle 2\overrightarrow{EF}\) vektorral történő eltolás. Így \(\displaystyle \overrightarrow{GG''}=2\overrightarrow{EF}\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle CD\) oldal \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja, \(\displaystyle G\) pedig a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja, így \(\displaystyle \frac{CH}{CD}=\frac{CG}{CB}=\frac23\). A \(\displaystyle DCB\) szögre alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételének megdordítását kapjuk, hogy \(\displaystyle GH \parallel BD\) és \(\displaystyle GH=\frac23 BD\). Hasonlóan, a \(\displaystyle BAD\) szöget nézve \(\displaystyle EF \parallel BD\) és \(\displaystyle EF=\frac13 BD\). Ezekből következik, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{GH}=\frac23\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{EF}\).

Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{GG''}=2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}\), ezért \(\displaystyle G''=H\), azaz megmutattuk, hogy \(\displaystyle G''\) rajta van a \(\displaystyle CD\) oldalon, méghozzá annak \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.


Statisztika:

A C. 1588. feladat értékelése még nem fejeződött be.


A KöMaL 2020. februári matematika feladatai