Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 1588. (February 2020)

C. 1588. Let \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\) be the points lying closer to vertex \(\displaystyle A\) which divide the sides \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle AD\) of a quadrilateral \(\displaystyle ABCD\), respectively, in a \(\displaystyle 1:2\) ratio. Let \(\displaystyle G\) be the point lying closer to \(\displaystyle B\) which divides side \(\displaystyle BC\) in a \(\displaystyle 1:2\) ratio. Reflect point \(\displaystyle G\) in the point \(\displaystyle E\), and reflect its image in the point \(\displaystyle F\). Prove that the final image lies on a side of the quadrilateral. Which side is it, and in what ratio is it divided by the final image?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2020.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a \(\displaystyle G\) pont tükörképe az \(\displaystyle E\)-re vonatkozó tükrözés után \(\displaystyle G'\), majd ennek a pontnak az \(\displaystyle F\)-re vonatkozó tükörképe \(\displaystyle G''\) az ábrán is látható módon. Továbbá legyen \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle DC\) oldal \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.

Megmutatjuk, hogy \(\displaystyle G''=H\), azaz \(\displaystyle G''\) a \(\displaystyle DC\) oldalon van, éspedig annak \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.

Először is, ismert, hogy az \(\displaystyle E\)-re, majd \(\displaystyle F\)-re vonatkozó egymás utáni középpontos tükrözés nem más mint a \(\displaystyle 2\overrightarrow{EF}\) vektorral történő eltolás. Így \(\displaystyle \overrightarrow{GG''}=2\overrightarrow{EF}\).

Tudjuk, hogy \(\displaystyle H\) a \(\displaystyle CD\) oldal \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja, \(\displaystyle G\) pedig a \(\displaystyle BC\) oldal \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja, így \(\displaystyle \frac{CH}{CD}=\frac{CG}{CB}=\frac23\). A \(\displaystyle DCB\) szögre alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételének megdordítását kapjuk, hogy \(\displaystyle GH \parallel BD\) és \(\displaystyle GH=\frac23 BD\). Hasonlóan, a \(\displaystyle BAD\) szöget nézve \(\displaystyle EF \parallel BD\) és \(\displaystyle EF=\frac13 BD\). Ezekből következik, hogy \(\displaystyle \overrightarrow{GH}=\frac23\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{EF}\).

Mivel \(\displaystyle \overrightarrow{GG''}=2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}\), ezért \(\displaystyle G''=H\), azaz megmutattuk, hogy \(\displaystyle G''\) rajta van a \(\displaystyle CD\) oldalon, méghozzá annak \(\displaystyle D\)-hez közelebbi harmadolópontja.


Statistics:

93 students sent a solution.
5 points:Albert Ákos, Barczikay Ákos, Blázsik Árpád, Cserkuti Sándor, Csilling Dániel, Csonka Illés, Dékány Csaba, Domján Olivér, Egyházi Hanna, Erős 135 Milán, Feczkó Nóra, Gombos Gergely , Hamar János, Inokai Dávid, Kalocsai Zoltán, Lőw László, Mészáros Anna Veronika, Németh László Csaba, Pilz Olivér, Sipos Teodor, Somogyi Dalma, Stein Felix, Szabó Réka, Szabó Zóra, Szakács Domonkos, Szalanics Tamás, Szalay Réka, Varga 128 Erik.
4 points:Baksay Réka, Császár Boglárka, Dancsó 172 Dorottya, Domokos Lóránt, Flódung Áron , Hajós Balázs, Horváth Milán, Koczkás Árpád, Koleszár Domonkos, Kovács Ádám Martin, Novák Zalán Zoltán, Pesti Patrik, Rács Zsóka, Téglás Panna, Varga Boldizsár, Vincze Dorka.
3 points:12 students.
2 points:12 students.
1 point:9 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2020